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l'équation 



où l'inlégrale double a un sens et qui rentre dans le type de l'équation de 

 Fredholm. 



Si nous ne sommes pas dans un cas singulier relatif à celte équation, 

 nous pourrons obtenir la solution unique répondant à (p). Mais une ques- 

 tion se présente ici qui demande quelque attention. Pourra-t-on de l'équa- 

 tion (p) remontera l'équation (a), puis de celle-ci à l'équation différen- 

 tielle (i)? 



On voit facilement que la chose sera possible, si la fonction u(x, y) tirée 

 de (p) a des dérivées partielles du premier ordre restant finies dans C et 

 sur C et si elle a à l'intérieur de C des dérivées partielles du second ordre. 

 Il faut donc établir que la fonction u(x, y) tirée de l'équation fonction- 

 nelle (p) jouit de ces propriétés. Il en est bien ainsi, si les coefficients de (i) 

 admettent des dérivées jusqu'au second ordre. On peut le montrer, en 

 substituant à l'équation (p) une autre équation fonctionnelle qui en est la 

 conséquence. Posons 



/•/ î- N \ (){aG) dil'G) ,/ 



et ensuite 



/,(x,y; s, <:) = j j/{x,y; u, i')f(u, v; s, r,)du(lv. 



Notre fonction u{x,y) satisfera à l'équation 



( u{x, y)— I j /, (•Ï--, y; s, •;)«(*, a) ih dr, 



(y) ,.,. 



I = <\,(œ,y) — I J/(.r,y; s, '^)^(s, i) dsd^. 



C'est de l'équation (y) que nous déduisons les propriétés indiquées rela- 

 tives aux dérivées premières et secondes de u, nous permettant de remonter 

 de l'équation fonctionnelle (p) à l'équation aux dérivées partielles (t). Le 

 problème |)roposé est donc résolu, si nous ne nous trouvons pas dans un 

 cas singulier pour l'équation (p). 



3. De ce qui précède, on peut conclure que, en gênerai, il existe pour 

 l'équation (i) (un contour C étant donné) une intégrale ef une seule. 



