SÉANCE DU 2.5 JUIN 1906. l46l 



continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres à l'inlé- 

 rieur de G et s'annnlant sur ce contour. 



Le mot en général ?,e\'a complètement précisé si, au lieu de (i), on envi- 

 sage l'équation où figure un paramètre arbitraire k ; 



/ N d-ii ô-ii , ( du 1 au ■ \ f 



De ce qui précède, il résulte qu'il peut y avoir des valeurs singulières 

 de k, avec lesquelles le théorème précédent n'est pas exact pour l'équa- 

 tion (2). Ces valeurs sont les racines d'une Jonction entière. Le cas singulier 

 relatif à l'équation (i) est manifestement le cas où X- = i serait une des va- 

 leurs singulières de l'équation (2). 



4. Un cas particulier des plus intéressants est celui de l'équation 



à- Il d'- u , j. 



s^ + j^ + '^^'^Z. 



où c{x,y) est positif dans la région considérée. On sait que celte équa- 

 tion a fait l'objet des recherches de M. H. Weber, puis de M. Schwarz et 

 de M. Poincaré. En particulier, M. Poincaré a établi que toute intégrale 

 continue de cette équation prenant des valeurs données sur un contour 

 était une fonction méromorphe de k ayant des pôles simples en nombre 

 infini (d'ailleurs correspondant à des valeurs positives de k). Ce beau 

 résultat est aujourd'hui intuitif, si l'on rattache l'équation précédente à 

 l'équation fonctionnelle 



u{x,y)— — I lc(ç,-i))u(l,-/])G(^,'ri;.T,y)(lldr, = <h(x,y). 



La démonstration de l'existence d'un nombre infini de pôles k,, k^, ..., 

 k,,,, ..., est d'ailleurs immédiate, quand on est assuré à l'aAance que u, 

 regardée comme fonction de k, ne peut avoir que des pôles simples. On 

 peut suivre la même marche que j'ai suivie, pour le cas d'une seule va- 

 riable, dans le Tome III de mon Traité d'Analyse (p. I25). Aux différents 

 pôles kl correspontlent des intégrales de l'équation 



d'^ u d'- u , 



-T—. -I- 1"^ + kjCU — o 



d-r- Oy- ' 



s'annnlant sur le bord (et non nulles identiquement). J'ai montré autre- 

 fois, à ce sujet, qu'à la première valeur singulière k^ ne correspondait 

 (qu'une seule intégrale de celte nature (à un facteur constant près). On sait 



