SÉANCE DU 25 JUIN 1906. I/JgS 



surface d'ordre n — 2 ; F^^j, etc. On détermine ainsi n — \ surfaces : F„^,, 

 F„_j, .. ., F„_(„_,,, dont la dernière est un plan F„^(„_,,^II<. 



Cela posé, il y a la proposition suivante : 



Le point P et le plan IIj étant arbitrairement fixés dans l'espace : 1° les 

 quatre plans II,, IIj, IIj, II, passent par une même droite; 2° leur rapport an- 

 harmonique est constant et égal à n. 



En effet, le point P et le plan K^ étant arbitrairement fixés dans l'espace, 

 soit X, = Xo ^ x^ = Xt =^ o un tétraèdre de référence dont un des sommets, 

 x, = x„z= X3 = o, coïncide avec P et la face opposée, Xi = o, avec Hj. 

 L'équation de la surface F„ pouvant être ramenée à la forme 



F„^^"ç„ + a7';''<p, -h . . . ^ x^o„_, -+- (p„=o, 



(po étant une constante et ip, (j =: i ,2, . . ., n) un polynôme homogène de 

 degré t en x,, x^, x^, l'on trouve 



n,=S(p, = o, na^a:^ = o, 



Iljssç, + Tiçpoa:;^ = o, U/.^ cp, -I- Ço^î^ = o; 



d'où l'on reconnaît immédiatement que les quatre plans II,, U2, H,, II, 

 passent par une même droite (cp, = a;, ^ o) et que leur rapport auharmo- 



nique est égal à — ^ =r n. c. q. f. d. 



'■fo 



Pour n ^1 (quadrique), on voit en particulier que : les quatre plans n,, 

 n,, IIj, n,, ainsi que les quatre plans IIj, II,, IIo, n, sont en situation harmo- 

 nique. 



Le théorème que nous venons de démontrer et celui que l'on déduit par 

 dualité (au moyen desquels les invariants numériques ordre et classe d'une 

 surface sont exprimés respectivement comme rapports anharmoniques de 

 quatre plans d'un faisceau et de quatre points en ligne droite, bien déter- 

 minés) donnent lieu à plusieurs déductions et applications dans la théorie 

 des surfaces algébriques. D'autre part, leur généralisation dans la géomé- 

 trie à </(> 3) dimensions n'offre aucune difliculté ('). 



2. Bornons-nous à l'examen du cas particulier où l'on suppose que P 

 coïncide en un point (r)?'" (r <^ n — i) de la surface donnée. Écrivons F^" 

 à la place de F„ et II à la place de Hj. Soient : K^ le cône tangent eu P à la 

 surface F^f; R^^., le cône tangent en P à la surface, unique, du fais- 



(') Pour d^2, voir ma Note précédente, dans ces Comptes rendus, t. CXLII, 

 séance du 5 juin 1906. 



