1496 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



oeau (F^;', R^, U"''), qui a un point (r -h i)p'^ en P; M^';!, la (n — /•— ly^me 

 polaire de P par rapport à F^'"'. Le faisceau (Fj[', L„) (L„ étant le cône de 

 sommet P passant par la courbe intersection de H avec F|['), contient une 

 surface qui se décompose en n et en une surface d'ordre n — i, Fj^, [pas- 

 sant par la courbe gauche d'ordre nÇn — i) intersection résiduelle de Fjf 

 avec L„]. De même, le faisceau (F^'2^, , L„_, ) (L„_, étant le cône de sommet P 

 passant par la courbe intersection de II avec F^",), contient une surface 

 qui se décompose enllet en une surface d'ordre n — 2, F^^l'^, etc. On déter- 

 mine ainsi n — r — 1 surfaces, F^^l,, Fj^l^, . . . , Fj,''l,„_^_,,, dont la dernière, 



«-(H-;--)) r+i » 



est une surface monoïde d'ordre r -+- i . 



Cela posé, voici la proposition que l'on a dans ce cas particulier : 



Le plan n étant arbitrairement fixé dans l'espace : 1° les quatre surfaces 



d'ordre r -\- i : K;.^,, IIK^, M|.7,, F^'^, appartiennent à un même faisceau; 



2" leur rapport anharmonique est égal an — r. 



En etfet, le plan II étant arbitrairement fixé dans l'espace, soit 



*X) 1 ^— — "-'o "^3 ~~' ^ -i ■ t) 



un tétraèdre de référence dont un des sommets, x^=^ x^^= x^=. o, 

 est en P et la face opposée, x^ = o, en n. L'équation de la surface 

 donnée F^" pouvant être ramenée à la forme 



(oc) F^'"' = a;';-"9,+ x",-"' (p^.^, +...-\-x, 9„^, + (p„ = o, 



(p,(i = r, r -\- i , . . . , n) étant un polynôme homogène de degré i en x^t 

 Xi, X3, on trouve tout de suite 



Rr+,5=(pr+. = o. nK,^a:^(pr= o, 



M^'^, = <p^_H. + (« - 0^<?r= O» Fr+. = ?r+. +^4?, = o; 



d'où l'on déduit immédiatement que les quatre surfaces d'ordre r-\-i, 

 K^+,, nKr, M^'^,, F^", appartiennent à un même faisceau et que leur rap- 

 port anharmonique est égal à n — r. c. q. f. d. 

 Pour r = « — 2 on a, en particulier, cet autre énoncé : 

 Les quatre surf aces^d' ordre n — i : R„_,, '^''"Z'^\ nK„_2, FJ"_~^', ainsi que 



sont en situation harmonique. 



