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On peut, par un choix convenable des unités, supposer c = i. 



Considérons donc le cas où c = i. En introduisant au lieu de .r et de j les coor- 

 données semi-polaires R et o, on trouve 



) d^ 



\ ds" 



\ ds^ r^ ds ' 



(III) 



où Y est une constante d'intégration. 



En éliminant -^ et en remarquant que ds' ^ dR' + dz' ^ R"- do' , on obtient 

 ds 



(IV) 



où l'on a posé 



'- (R^+;^)'^-' 



Or, en prenant ici pour un moment s comme étant le temps et R et s les 

 coordonnées cartésiennes d'un point matériel /> de masse i dans un plan, 

 le svslème (IV) représente les équations de mouvemeni de p sous l'in- 

 fluence d'une force dérivant de la fonction de force ^Q. Tous les résultats 

 connus relatifs à un tel système peuvent donc être ap|)liqiiés au système (IV) 

 ce qui donne des résultats correspondants sur les trajectoires dans l'espace. 

 Par exemple, la condition o<Q=i définit, pour chaque valeur de y, les 

 parties de l'espace qui ne peuvent contenir de trajectoires. 



Quant à l'intégration du système (IV) elle se réduit à l'intégration d'une 

 équation différentielle du second ordre, de même forme que l'équation des 

 lignes géodésiques d'une surface, suivie d'une quadrature. Une nouvelle 

 quadrature donne l'angle cp, ce qui détermine la trajectoire dans l'espace. 



Cependant, je n'ai pas réussi à intégrer l'équation tlii second ordre 

 mentionnée en dernier lieu : pour les applications physicjues cela n'est 

 même pas nécessaire; en effet, les méthodes d'intégration numérique 

 suffisent pour faire connaître les trajectoires avec assez d'approximation 

 pour en tirer des conclusions importantes. 



Pour les applications aux aurores boréales, un problème fondamental 

 consistait à déleriuiner toutes les trajectoires venant de l'infini et passant 



