166 • Hensen, Methodik der Untersuchungen. 



Die Ableitung des Satzes über die erforderliche Verdünnung ist in Obigem von Hrn. Abbe 

 nicht gegeben worden, und findet sich auch sonst wohl nicht in der Literatur. Ich habe daher 

 Hrn. Abbe um eine Erläuterung gebeten und erhalte darauf die nachfolgende Darlegung zur 

 freien Verfügung. Indem ich für dies freundliche Entgegenkommen Hrn. Abbe meinen ver- 

 bindlichsten Dank sage, gebe ich im Nachfolgenden auch diese Ableitung. 



Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers bei der Bestimmung von Mittel- 



werthen durch Abzählen. 



Es seien Objekte irgend einer Art im Kaum, oder bestimmte Ereignisse in der Zeit, 

 oder bestimmte Merkmale innerhalb einer Vielheit von dirkuten Dingen un regelmässig 

 vertheilt und es sei die mittlere Häufigkeit dieser Objekte oder Ereignisse oder Merkmale 

 durch Abzählen eines gewissen Volumens oder Zeitintervalls oder Komplexes zu bestimmen. 

 Dann wird der Befund (k) bei der einzelnen Zählung mehr oder minder abweichen von der 

 wahren Mittelzahl (n) für das betreffende Zählgebiet, die bei vielfältiger Wiederholung der 

 Zählung sich ergeben würde. Es ist nun die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, die dafür be- 

 stellt, dass im einzelnen Fall der Unterschied (k — n) absolut oder procentrisch innerhalb oder 

 ausserhalb gegebener Grenzen liege. 



Das mathematische Schema, nach welchem in all diesen Fällen das Walten des Zufalls 

 bei den einzelnen Zählungen zu beurtheilen und gemäss dem »Gesetz der grossen Zahlen« 

 ziffermässig zu bestimmen ist, ist folgendes: 



In einer Urne sei eine unbestimmt grosse Anzahl von weissen und schwarzen 

 Kugeln enthalten, und zwar in solchem Verhältniss, dass im Gesammtdurchschnitt unter je 

 IJ. Kugeln 11 schwarze und p. — n weisse sich finden. Aus dieser Urne werden ji Kugeln blind- 

 lings gezogen, entweder nach einander oder mit einem Mal (z. B., falls alle von gleicher 

 Grösse, durch Herausschöpfen des der Zahl \i. entsprechenden Volumens). Gefragt wird : welche 

 Wahrscheinlichkeit besteht, d. h. in welcher relativen Häufigkeit wird es bei vielfältiger Wieder- 

 holung des gleichen Experiments vorkommen, dass der Zug statt n eine gewisse andere Zahl 

 k von schwarzen Kugeln ergiebt? 



Im Falle des Abzählens von im Baume vertheilten Objekten entspricht nach diesem 

 Schema die Zahl lo. dem jeweils abgezählten Volumen, dieses ausgedrückt als Vielfaches vom 

 Einzelvolumen der zu zählenden Objekte, wofern die letzteren sämmtlich von gleicher Grösse 

 sind. Unter diesen Umständen bezeichnet also \x diejenige Zahl von Objekten, welche das ab- 

 zuzählende Volumen vollständig erfüllen würde. Wären aber die Objekte von ungleicher 

 Grösse, so müssten sie selbst, ebenso wie das Volumen, auf welches die Zählung sich erstreckt, 

 in lauter gleich grosse Raumelemente zerlegt gedacht und mit n, k und ji diese Elemente ge- 

 zählt werden, sodass also n und k im Verhältniss zu ja. das von den gezählten Dingen erfüllte 

 Volumen im Verhältniss zum Volumen des ganzen abgezählten Raumes angeben würden. 



Mit Bezug auf das obige Schema ist die Wahrscheinlichkeit einer schwarzen Kugel beim 



einmaligen Zug = — , die einer weissen =1 — und daraufhin, nach bekannten Regeln, die 



. . . '^. ^ 



Wahrscheinlichkeit eines Gesammtzuges von p. Kugeln mit k schwarzen und p. — -k weissen. 



