Bestimiiaung über die Dichte der Mischung. 167 



1.2...k.\.2...\i.— k y]i.J V p-/ 



;* / nY p..)! — l.p. — 2 |i — Ä — 1 f n\' 



1 . 2 



■('-;:) -0-^)0^ ) ('-^')-('-:) 



1 . 2 .... A- V \i.) \ p.7 V p./ \ jj. / V 11/ 



Wird nun n als sehr gross im Verhältniss zu n und A; vorausgesetzt, so sind die binomischen 



Faktoren rechts von [1 — j sämmtlicli sehr wenig von der Einheit verschieden, während 



zugleich 



wird. Demnach ist 



Tr_ t ,-.. 



'=~1.2...A-' 

 jedenfalls ein Näherungsausdruck für die gesuchte Wahi'scheinlichkeit. 



Um den Gi-ad der Annäherung, den dieser Ausdruck für verschieden gi'osse Werthe von 

 n und k gewährt, genauer bestimmen zu können, berechne man noch den Logarithmus des 

 Produkts p der sämmtlichen binomischen Faktoren 



i'~(^-0'('-i)('-^)-(^-*-?')-o-:r 



unter Beschränkung auf diejenigen Glieder im Logarithmus, welche einzeln oder nach ihrem 

 Gesammtbetraof grösser werden können als und , welche also nicht kraft obiger An- 



nähme über das Verhältniss von \^ zu n und k von selbst verschwinden. Diese Rechnung ergiebt 



1 n" 1 H'- k .n ,11" (k — ii)- 

 log i> = — «+.-—.- + -"= — «+- — ^ 



also 



oder in erster Annäherung 



2 }! 2 p. p. p. 2pi 



n' 



(k-ny- 



^ = 6-"" .e .e 



(k — n)-^ 



^— + 7)-0-^V) 



Der genauere Werth für IF^ ist also 



Der zuerst angenommene einfachere Ausdruck stellt daher die zu berechnende Wahrscheinlich- 

 keit nur dann richtig dar, wenn n~ klein ist im Verhältniss zu n, also n klein nicht nur im 

 Verhältniss zu ii, sondern auch noch im Verhältniss zu j/p- — unter welcher Voraussetzung 



o 



beide binomische Faktoren sich auf die Einheit reduciren. Aber auch wenn (1 + 1 erheb- 



(^ + 'P 



lieh von 1 verschieden wäre, so würden durch diesen Faktor, weil er bei bestimmtem n für 



Hensen, Methodik der Untersuchungen. B> 



