168 Hensen, Methodik der Untersuchungen. 



alle k konstant bleibt, die Verhältnisse zwischen den den verschiedenen Zahlen k ent- 

 sprechenden Werthen W„ nicht alterirt. Die relativen Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen 

 Ic — auf welche allein es ankommt — werden also richtig dargestellt durch die Formel 



n* 



(k — ny 



wofern nur n klein ist gegen ji (selbst wenn es nicht mehr klein wäre gegen )/ ii) — also auch 

 durch die anfänglich aufgestellte Formel 



^* 1.2...k' 

 wofern nur noch k — n klein ist im Verhältniss zu ]/2~n. Diese letztere Bedingung aber ist 

 durch die erstere (n klein gegen p.) schon miterfüllt, weil die möglicherweise vorkommenden 

 Unterschiede (k — n) nicht v i e 1 m a 1 grösser sein können als + V^ ^ — • '^^^ ^'^ Folgenden 

 sich ergiebt durch den Nachweis, dass die »wahrscheinliche« Abweichung des k von n nur 



0,477 ]/2n ist. 



Die Anwendung der letzten Gleichung für W^ auf den Fall des Abzählens von unregel- 

 mässig im Raum vertheilten Objekten unterliegt also keiner weiteren Bedingung als dieser : 

 dass die zu zählenden Objekte ihrem Gesammtvolumen nach nur einen kleinen Theil des 

 Raumes erfüllen. — Die Wahrscheinlichkeitsziffern für die verschiedenen von n mehr oder 

 weniger abweichenden Zählbefunde k verhalten sich dann zu einander wie die betreffenden 

 Glieder der Potenzreihe 



71- rf n^ 



6"=.!+« + ^--^ Y72~n 1.2...k ■■• 



Die grösste Wahrscheinlichkeit besteht hiernach für k = n; für k>n und k<n nimmt die 

 Wahrscheinlichkeit des Vorkommens stetig ■ — aber nach beiden Seiten hin unsymmetrisch ■ — ab. 

 Behufs Berechnung der Wahrscheinlichkeit irgend einer bestimmten Abweichung 

 k — n vom Mittelwerth werde k=-n-\- A gesetzt. Dann ergiebt die obige Formel 



„n+A „n „A 



w^ 



l.2...7i-\-A 1.2...n (n+l)(n + 2).. .(n + A) 



m" _ 1 



1 . 2 . . . n 



■ (i + l)0 + ^)----0 + f) 



Es werde nun n als eine grosse Zahl vorausgesetzt, sodass — für alle praktisch vorkommen- 



n 

 den Abweichungen A ein kleiner Bruch bleibt. Gemäss der bekannten Formel 



Lim 

 n 



ist alsdann 



n" e 



_ (1 . 2 . 3 . n) = 1/2 Jr . n . n" . e- 



1 . 2 . 3 . . . n j/rt . }/2^ 

 und wenn 



