86 Art. 0.— T. Takag-i : 



oder UDgeraden rrimzahli)otGiizindex /'' und die compleinentäre^ 

 Gruppe (r/n cyclisch ist. 



Es sei also c eine solche Classe in k, dass erst die f te Potenz 

 von (■ in n enthalten ist; ferner sei <;„ die Classengruppe vom 

 Index /. welche h in sich entludt, so da-<s in einer wiederholt 

 angewandten I îezeich nnnesweise 



'o^ 



G=[C, h], G„=[c', h]. 



p]s existirt alsdann ein relativ cyclischer Körper k'/k vom 

 Grade /, welcher Classenkörper für g« ist. Nach Satz 22 ist es nun 

 möglich, ein in iii aufgehendes invariantes Ideal iii' so zu wählen, 

 dass die Eelativnormen aller Ideale einer Classe nach iii' in k' einer 

 und derselben Classe nacli m in k angehören werden. Demnach 

 ist die Gruppe der sämtliclien Classen ^'on k' in der Form dar- 

 stellbar: 



WO u' die Gruppe derjenigen Classen von k' bedeutet, deren 

 Relativnormen in die Classengruppe ii von k hineinfallen, und c 

 diejenige Classe von k'. welche die Ideale von c in k enthält. 

 Von den Potenzen dieser Classe c von k' ist erst die /'"^ te in n' 

 enthalten. 



Wir nehmen nun an: der Existenzsatz sei bewiesen für den 

 Index /'"\ Demnach existirt ein relativ cyclischer Körper K 

 vom Relativgrade /''"^ in Pozug auf k', welcher Classenkörper für 

 die Classengruppe h' von k' ist. Da n' offenbar gegeniïl)er der 

 erzeugenden Substitution s der Galois' sehen Gruppe ties Relativ- 

 körpers k'/k invariant ist, so folgt nach Satz 6, dass K relativ 

 normal in I3ezug auf k ist. AVeil aber K der Classengruppe ii 

 von k zugeordnet ist, so folgt, dass K keinen laiterkörper ausser 

 k' enthalt, welcher relativ cyclisch vom Relativgrade /in Pezug 

 auf k ist. Denn ein solcher musste als Classenkörper einer 

 Classengruppe vom Index l in k zugehören, welche notwendig. 

 H in sich enthalte. Ausser o,,, welcher der Classenkörper k' zuge- 

 ordnet ist, gibt es aber keine solche Classengruppe in k. 



