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Relativ quadratische Classenkörper. 



Vm den Beweis unseres Existenzsatzes für tien Fall durch— 

 zufüll ren. wo der Index der vorgelegten Classengruppe gleich 2 

 ist, sprechen wir ihn in precisirter Fassung wie folgt aus. 



Satz 27. In einem cd(/e/j raise hen Körper k vom Grade m sei 

 die Idralclassen nach der Zahlengruppe o derjenif/en Zahlen a 

 deßnirt, welche die Bedingung: « = 1 (m) hef riedigen, jedoch ohne 

 ■irgendivelcher Vorzeichcnheschr'àrihung luderworfen zu sein. Dann 

 existirt für jede vorgelegte ClassengrupiJe vom Index 2 ein relativ 

 quadratischer Oberkörper K von k, welcher derselben als Classenkörper 

 zugeordnet ist und von der Art, dass unter den mit K conjugirten 2m 

 Körpern dop)pelt so viel reelle Körper als unter den mÄt k conjugirten 

 m Körpern vorhanden sind. 



Oder allgemeiner: 



Wenn von den Vi reellen mit k conjugirten Körpern eine beliebige 



Anzahl v: ü.s seien diese k,, k2, k„, ausgewählt wird, und icenn 



in die ZaJdengruppe o^ nur diejenigen Zahlen von o aufgenommen 



iverden, welche positiv in ki, k^, k„ ausfallen, dann existirt für 



jede Classengruppe vom Index 2 nach o^', ein Classenkörper K, 

 welcher unter den 2m conjugirte7b Körpern weniejstens 2(?-i— v) reelle 

 aufweist. 



Natürlich soll K die in Satz 23 und Satz 25 ausgesprochenen 

 Bedingungen in Bezug auf die Relativdiscriminante befriedigen. 



Beweis. Es genügt, den Satz in der im zweiten Teil aus- 

 gesprochenen allgemeineren Form zu beweisen; dies geschieht 

 auf derselben Weise wie in § 18. Nur soll im gegenwärtigen Falle 

 für die Zahl Tder Wert'^ 



i= f? + (^' + 2V+ 2'/^, ö'O + ^ + ^i -('• + !) («^ 



angenommen Averden, wo 2" die Anzahl der quadratischen Reste 

 nach m ist, welche in dem System der Zahlen 



(-l)"°ex"^ e,>i''^ (h' (0^«.i^<'2) 



1) Vgl. Formel (8) in § 17, wo jetzt an Stelle von S/?(f;) und \\ -ro bez. i:(s/+l) + S/i'(.(/;) 

 IUI 1.1 V gesetzt werden müssen. 



