Üobor eine Tliooric dis relativ Aliel'schou Zalilkörpori?. 83 



Da also K relativ Abel' seh vudi (irade id in Bezug auf k ist, 

 so enthält K einen Unterkörper Ko, welcher relativ C3^clisch vom 

 Grade l in Bezug auf k ist. Dieser Körper Ko muss nach Satz 13 

 (vgl. weiter unten) einer Classengruppe in k vom Index l als 

 .Classenkörper zugeordnet sein. Diese Classengruppe muss aber, 

 da Ko in K enthalten ist, offenbar die Classengruppe (6) enthalten, 

 kann also keine andere sein als die vorgelegte (rruppe h. 



Die Ivelativdiscriminante des Körpers Ko/k enthält offenbar 

 kein Primideal als Factor, welches nicht in m aufgellt. Geht 

 insbesondere ein Primideal ( genau zur (f""^ Potenz in m auf, wo 

 l<zg^(7l, dann ist in k' der Modul m genau durch die 

 gn^"'' Potenz von dem entsprechenden Primideal V (1=1'") teilbar. 

 Geht daher dieses Primideal V in die Relativdiscriminante des 

 Körpers K/k' auf, dann ist nach Satz 2G die entsprechende Zahl 

 v<Zff)i. Hieraus ist aber zu schliessen, dass I in die Relativ- 

 discriminante von Ko/k aufgehen muss (ausser wenn g=li), und 

 zwar ist die entsprechende Zahl ^'<^. Denn setzt man (=S"', wo 

 S Primideal in K bedeutet, dann folgt, Avenn man die Relativ- 

 difïerente des Körpers K/k einmal als Product der Relativ- 

 differenten von K/Ko und von K„/k, das andere Mal als Product 

 der Relativdifferenten von K/k' und von kVk darstellt, 



folghch 



Qn-l (,,(n((-fl)(,-l)_Ç,(' xDCi-l) C/Urt-l) 



V 

 V = 



Avoraus das Gesagte folgt. Wenn aljer yl^-rZ+l, dann ist die 

 Beziehung ):<:(/ selljstverständlich." 



Ist dagegen iii nur durch die erste l*otenz von I teilbar 

 (^=1), dann ist die Relativdiscriminante von K„/k prim zu l. 

 Denn andernfalls würde, wie oben, aus r'o/ die unmögliche 

 Beziehung ?'<! folgen. 



ij_, f ^i -^^^ö^ 



1) Die Beziehung v<zg vechtfei'tigt die Anwendung von Satz 13 auf den Körper K^/k 



(vi--!. oben'. 



