82 Art. 9.— T. Takagi : 



Die Classen Ci, Ca, erleiden also in k' weder die Verlust der 



Unabhängigkeit noch die Erniederung der Ordnungen. 

 Demnach wird durch 



H'=[cLco, d'} (5) 



eine Classengruppe vom Index l in k' definirt. 



Für diese Classengruppe n' existirt nun nach dem vorherge- 

 henden Artikel ein zugeordneter Classenkörper K vom Relativ- 

 grade / in Bezug auf k', weil k' die primitive t" Einheitswurzel 

 enthält. 



Weil aber die Classengruppe ii' gegenüber der Substitutionen 

 des Relativkörpers kVk invariant ist, so fallen die in Bezug auf k 

 mit K relativ conjugirten Körper" als Classenkörper von h' nach 

 Satz G mit K zusammen; also ist K relativ normal in Bezug auf 

 k. Aus der Tatsache, dass die Relativnormen der Idealen von K 

 in Bezug auf k in die Classengruppe 



[cLco, ; D„] (6) 



hineinfallen, ist aber zu schliessen, dass K relativ Abel' seh in 

 Bezug auf k sein muss. 



In der Tat, sei p ein Primideal von k, welches nicht in die 

 Primideale des ersten Relativgrades in k' zerfällt, und zugleich in 

 einer Classencomplex 



ct'c./ D mit ri^O, (7) (7) 



enthalten ist; die Existenz solcher Primideale folgt aus dem 

 Hülfssatze des § 4. Wäre nun K nicht relativ Al)erscli in Bezug 

 auf k, dann musste jedes in p aufgehende Primideal p' von k', 

 nach dem vorhin bewiesenen HüHssatze in / von einander ver- 

 schiedene Primfactoren in K zerfallen. Folglich musste p' einer 

 Classe der Gruppe (5) angehören, und infolgedessen n(p')=:v' in 

 eine Classe der Gruppe (0) in k liineinfallen. Da al)er p der 

 Classe (7) angehört, und da / als Teiler von ii prim zu / ist, so 

 ist dies unmöglich. 



