Uebor ciuo Theorie îles relativ Abel'schen Zahlköri^ers. 79 



YOU ©, welche den Körper k'/k unverändert lässt, ?o da>s nach 

 Voraussetzung ^ cyclisch von der Ordnung /, und die comple- 

 mentäre Gruppe ©/§ ebenfalls c^^clisch von der Ordnung n ist. 

 Dalier gibt es in @ eine Substitution T, von der Art, dass die 

 T^erlegung gilt: 



Die Ordnung der Substitution T, welche durch n teilbar und in nl 

 îiufgelît, muss notwendig gleich n sein, weil die Gruppe @ nicht 

 •cycliscli sein soll. Ist aber H eine beliebige Substitution von .§, 

 dann ist HT auch von der Ordnung }i., weil HT in der oljen 

 angegebenen Zerlegung von © an Stelle von T treten kann. 

 Ebenso folgert man, dass die Ordnung jeder nicht in ^ enthaltenen 

 Substitution ein Teiler von n sein muss. 



Sei nun p ein Primideal von k, welches die Voraussetzung 

 ■des Satzes genügt, und es gelte in K die Zerlegung 



V = '^.%s '^.^ 



so dass 



wenn / der Relativgrad der Primideale ^^i, ^2. i'i Bezug auf k 



ist. Nach Voraussetzung ist also/:>l. Die Zerlegungsgruppe des 

 Primideals ^^1, welche von der Ordnung / ist, muss hier eine 

 €_7clische Gruppe sein, weil die Trägheitsgruppe die identische ist. 

 Xacli dem vorhin bewiesenen, muss daher / ein Teiler von n^ 

 oder gleich / sein. Die letzte Eventualität ist aber ausgeschlossen, 

 weil alsdann ^ die Zerlegungsgruppe ist und folglich p in 11 

 Factoren in k' zerlegt werden muss. Da also / ein Teiler von >^ 

 ist, so muss V durch / teilbar sein, womit der Satz bewiesen ist. 



Wir gehen nunmelir zum Beweis des Existenzsatzes über, 

 unter der Voraussetzung, dass der Grundkörper k nicht die 

 primitive P" Einheits\vurzel enthält. Durch Adjunction derselben 

 erweitern wir k zum Köri)er k'. welcher relativ cyclisch über k 

 von einer Ordnung n ist, wo n ein Teiler von /— 1, folglich prim 

 zi\ l ist. Die Idealclassen von k seien nacli der Zahlengruppe o 



