78 Art. 9. T. Takagi : 



den Beweis ein Classenkörper K' für ji existiren, dessen Kulativ- 

 discriminante zu p prim ist, der folglich gewiss von K verschieden 

 ist. Enthalte aber m einen Primfactor I /ai einer Potenz, deren 

 Exponent kleiner als ■y-fl ist, dann musste nacli Satz 2-") ein 

 •Classenkörper K' für h existiren, für welchen die entsprecliende 

 Zahl v'<zv ausfällt, oder dessen Relativdiscriniinanto prini zu t 

 ist, welcher also jedenfalls von K verschieden wäre. Beide 

 Annahme führen somit zu einein Widerspruch gegen Satz ('>. 



§. 10. 

 Forlsetzung des vorhergehenden Artikels. 



In dieser Fortsetzung des vorhergehenden Artikels behandle 

 ich denjenigen Fall des Existenzsatzes, wo der Index der 

 Classengruppe ii eine ungerade Primzahl / ist, aber der ( îrund- 

 körper nicht die primitive Z*^ Einlieitswurzel T enthält. Für den 

 Fall, wo 111 = 1, also für den absoluten Classenkörper hat Herr Ph. 

 Furtwängler'^ den Existenzbeweis dadurch geführt, dass er zunächst 

 dem Körper k die V^ Einheitswurzel C adjnngirte, dann einen 

 geeigneten Oberkörper zu den so erweitei'ten Grundkörper k' 

 •construirte; sodann zeigte er, dass dieser Oberkörper den gesuch- 

 ten Körper als Unterkörper entlialten muss. ])iese Beweis- 

 metliode bewährt sich auf in un-erem Falle. Indem irli hier 

 dieselbe Methode anwende, schicke ich einen Hülfssatz voran, 

 welcher eine gewisse Vereinfachung des Beweises bewirken wird. 



Hülfssatz. JiJs sei k' rclatlr cyclhch vom lichit'iryradr n In 

 BtziKj auf k, Jv relativ cydisch vom Grade l in. Tuziiij oi/fk\ und 

 relativ normal aber n'icht relativ Abel' seh in, Beziuj auf k: niid r.9 sei 

 l eilte Primzahl, die njelit in n <iuf<j<hl. Wenn dann ein /*rini<ileal 

 von k, welches nicht in die lielativd.iscri minante von K/k aafl/eht, in 

 Lüenitjer als n. Primfactoren, in. \^' zrrJalU, dann zerfallt Jidfs dieser 

 Primideale von k' m l Primfactor en in K. 



Beweis. Sei & die (fnlois'sclie ( vnippc de . r('l,iti\- ii.u'iiialen 

 Körpers K/k, von der Ordnung y//. .V) die invariante l'ntergruppe 



1) Math. Ann. 63. 



