L'elior L'int' 'l'heorit' des rtlativ Al-iel'sdu n /alilkürpcjrsi. 'J'J' 



>o ist nucli in diesem Falle iiucli 



Kiitluilt nun die Ivelativdiscriininante eines dieser Körper K 

 den Primfactur (i dann ist wegen (7) die entsprecliende Zahl 

 n^9i—^' r)aher ist Satz lo noch anwendbar, nnd es folgt, 

 genau wie vorhin, die Existenz der ^ unabhängigen Classenkörper 

 für die Gruppen h, welche alle Forderungen des Existenzsatzes 

 befriedigen. 



Das Ergebnis dieser Betrachtungen sprechen wir in den 

 folgenden Satz aus: 



Satz 25. (reht ein in I aufgeh ndcs Frimuhal l zw (/"'' Potenz 

 in Î11 avj\ ICO g^al, und ist die lielatbxlkcriminante eines dassenhor'pers 

 für eine Classenyruppe vont Index l nach dem. 3Iodid m durch dieses 

 Primideal Ï teilbar, dann ist die entsjyrechende Zahl v kleiner als g y 



Dasselbe gilt offenbar auch, wenn g—aj-\-\. Ferner ist, wenn 

 g=^, die Relativdiscriminante des Classenkörpers prim zu I. Ein 

 einfacher Factor l von m macht keinen Beitrag zu der Rangzahl 

 von G« 



Ferner gilt'^ 



Satz 26. Jfat der relativ cyclische Körper K/k vom Primzahl- 

 grade l die Relativdiscriminante b = f"\ dann, ist f der Führer'^^ der 

 zugeordneten Classengrupj^e vom Index l im Grund kihper k. 



Das soll heissen: Um die Relativnormen aller zu b primen 

 Ideale von K in eine Classengruppe vom Index / in k einzu- 

 schliessen, genügt es nach Satz 13, die Classen von k nach 

 einem durch f teil1)aren Modul nt zu definiren. In Satz 2G wird 

 nun umgekehrt behauptet, dass es auch notwendig ist, dass jii alle 

 Primfactoren von f, speciell jeden Factor l wenigsten zur v+V"'' 

 Potenz, als Factor enthalte. 



Beweis. Betreffs eines zu l primen Primfactor p von f ist 

 dies evident; denn wäre u eine Classengruppe \'om Index /nach 

 einem zu p primen Modul iii. dann nuisste nach dem vorhergehen- 



1) Dies zunäcbsfc unter der Auuuhme, dass l ungerade ist, und k die /^ primitive Ein-- 

 heitswurzel enthält ; diese Beschri'inkiiui;- w rd später aufgehoben werden. Vgl. § 19. 



2) Vgl. § 2, S 13. 



