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aufgeht. Aveil jedes der Ideale Vi, r«. r« genau zu einer Potenz 



in n aufgflit, deren Exponent Vielfaches von l ist, und überdies 

 //. /^' Polenzrest nach jedem {"'■ ist. Da ferner fin- jedes wirklich 

 in die Pclativdiscriminante aufgehende Priniideal ( die ent- 

 sprechende Zahl v^tJ (Satz 8), und anderseits nach Vorausset- 

 zung der Modul m dasselbe Ideal i wenigstens zur aZ + l''" Potenz 

 als Factor enthält, so ist Satz 13 auf den Körper K anwendbar, 

 demzufolge K Classenkörper für eine der Classengruppen h sein 

 muss. 



Da es genau /— 1: /— 1 Classengruppen it, und nach (G) 

 wenigstens ebensoviele Kdrper K gibt, da ferner nach Satz G 

 für jede Classengruppe nicht mehr als ein Classenkcirper existiren 

 kann, so folgt, dass jeder Classengruppe h ein Classenkörper K 

 zugeordnet sein muss. 



Es bleibt noch übrig, nachzuweisen, dass die Kelativdiscrimi- 



nante des Körpers K durch keines der Primideale q, q', q^""^^ 



teilbar ist. Wäre aber der Gegenteil der Fall, so wähle man 

 ein zweites, vollständig vom ersten verschiedenes System der n 



Primideale q.q,' q^'''^^, welche den Bedingungen (2) genügen, und 



bilde darauf die entsprechenden Körper K, deren Discriminanten 



dann sicher niclit durch q, q', q^""^^ teilbar sind, und folglich 



notwendig von K verschieden sein mussten. Da auch diese 

 Körper K Classenkörper für je eine der nämlichen Gruppen h sein 

 müssen, so führt die Annahme zu einem Widerspruch gegen. 

 Satz G. 



Hiermit ist im gegenwärtigen Falle unser Existenzsatz 

 bewiesen. 



Wir haben zu Beginn dieses Beweises angenommen, dass 

 jedes in / aufgehende Primideal Ï entweder gar nicht oder wenigs- 

 tens zur ffZ+l*"' Potenz in m als Factor enthalten sein soll. Es ist 

 nun leicht, diese Beschränkung aufzuheben. Es sei nämlich iit^ 

 ein Teiler vom m derart, dass \\\^ genau durch I' teilbar ist. wo 

 ij'^<fh und es sei t^ der Bang der entsprechenden Classengruppe 

 Go für den JModul iii„, so dass offenbar l^^-^t. Fällt nun ?o<? aus, 

 so gibt es unter den /'— 1:Z — 1 Classengruppen n nach m genau 

 Z*-— 1:Z— 1, welche Classengruppen nach \\\^ sind. Den letzteren 



