Ue'xT eine Theorie dt« relativ Aljel'selien Zalilkörpors. 71 



§ 18. 



Existenzbeweis des Classenkörpers vom ungeraden 

 Primzahlgrade. 



Wir 1)e.schäftigen uns nun mit demjenigen Falle des in § 15 

 aufgestellten Existenzsatze?, in welchem der Index l der Classen- 

 gruppe H eine ungerade Primzahl ist, und der Grundkörper k die 

 primitive /'^ Einheitswurzel Q enthält. Unter Beibelialtung der in 

 den beiden vorhergehenden Artikeln benutzten Bezeichhungsweise, 

 ist zunächst 



o = \ ; '"> 



sodann, wenn m der Grad des Körpers k ist, 



w = 2(r+l), 



ferner ist für jedes Primideal (, 



e = \, ' 



und 



s=a[J-l) •^> 



durch 1— 1 teilbar. 



Der Modul m enthalte d von einander verschiedene zu /prime 



Primideale: p, p', p^''"^^ als Factoren, für jedes derselben f(p) 



durch / teilbar ist.^^ Von den in / aufgehenden Primidealen seien 

 diejenigen, die in m aufgehen, deren Anzahl d' (mit Einschluss 

 des Wertes: d'={)) sei, durclnveg mit I) die übrigen mit V be- 

 zeichnet. 



Einfachheitshalber wollen wir zunächst annehmen, dass jedes 

 Primideal I, wenn überhaupt, wenigstens zur aZ + P'" Potenz in m 

 aufgehe, so dass in der Formel (2), § 1 7 für den Rang der Classen- 

 gruppe (^o 



ly Vgl. Formel (2) §17. 



2) Vgl. Hülfssatz, §16. 



3) Dies folgt aus der Tatsache, dass die Norm jedes Primideals in dem dnreli l erzengteiL 

 Kreiskörper congruent 1 nach l ist ; vgl. Hilhert, Bericht, Satz 119. 



