Uebcr eine Tlioorie «les I'elativ Alierschon Zahlkoi'pevs. Q]^ 



■\vo ''l^ ein PriDiideal in K, nnd , 



<i>(^:)3'=) =^(p«) =p^<^-'^f{2/- 1), 



wenn *I» bez. <p die Euler sehe Function 1)0Z. in K und k, und /der 

 Grad des Primideals p in k ist. Daher ist jede zu p prime Zahl Ä 

 in K nach jeder Potenz von '^^ einer Zahl a in k congruent, 



Ä^a, er), 



woraus 



^{A)^oh (p«), 



d. h. jeder Normenrest nach p'^ ist ein Z*^'' Potenzrest von p', und 

 umgekehrt. 



Ist nun p eine Pj'imitivzahl nach p, dann ist für jede zu p 

 prime Zahl a in k 



wo«o=l>(p)7 ^^iid 7«, eine Zahl aus der Reihe 0, 1, 2, p^— 2 ist. 



Es ist nun «o offenbar ein T"" Rest von p". Da nach Satz 7. 

 2?''— 1=0, (/), so ist /)" dann und nur dann ein T^" Rest nach p", wenn 

 n durch / teilbar ist. Hiermit ist der Teil (II) unseres Satzes 

 bewiesen. 



Beweis (III). Sei t ein Primfactor A'on / in k, welcher zur 

 (v + l)(^— l)ten Potenz in die Relativdiscriminante von K/k aufgeht, 

 ferner sei I=£^ ,wo S Pi-imideal in K ist. Wir bezeichnen in den 

 Folgenden durchweg mit /, und j,, eine genau durch die e te 

 Potenz bez. von l und ß teilbare Zahl von k und K. Für die 

 Relativspur von Ae erhält man dann, wie beim Beweise des 

 Satzes 8 



^Ae)=LL+[l){^-^)X-\-[l){^-irA,.+ + (s-iy-u,. 



Das erste Glied rechts ist nun genau durch die .s/+e** Potenz 

 von S, alle folgende Glieder bis auf das letzte durch die höheren 

 Potenzen, das letzte Glied aber wenigstens durch die e + v{l—lY^ 

 Potenz von ( teilljar. Daher erhält man, wenn man die Relation: 



sl^v{l-l) 



