0,S Art. 9.— T. Talcagi : 



lieber die Normenreste nacli Primidealpotenzen in k gilt der 

 folgende fundamentale Satz. 



Satz. 9. Ks sei Kik relativ cycüsch vom Prlmzcthlgrade l. 

 (I) Wenn dann \> ein Primideal in k ist, welches nicht in die Relatlv- 

 (liscrimi'ncinte von K/k aufgeht^ dann ist jede zu p prime Zahl in k 

 Normenred des Korpers K nach jeder Potenz von p. (II) Wenn 

 dagegen p in die Relativdiscriminante aufgeht, jedoch p jyrini zu l ist, 

 dann ist, von allen zu p primen und einander nach p incongruenten 

 Zahlen in k gemiu der V" Teil Normenreste nach p , liier bedeutet e 

 eine beliebige naiùrliche Zahl. (III) Dasselbe gilt auch für die Potenz 

 {"eines in l aufgehendes Priniideals i von k, falls i zur Potenz i^-'+ix^-i) 

 in die Relativdiscriminante aufgeht, und eJ^-v ist. Dagegen ist jede 

 zu i 2Jrime Zahl in k Normenrest nach V, ivenn e^v ist. Hier hat die 

 Zahl V die in Satz 8 angegebene Bedeutung. ^^ 



Beweis (I). Wir unterscheiden vier Fälle, jenachdem p in / 

 aufgeht oder nicht, und p in K zerfällt oder nicht. 



Zunächst sei p prim zu /, und es zerfalle p in K in / von ein- 

 ander verschiedene Primideale: 



Sei /der Grad des Primideals p in k, also auch der Primideale 



^;p, ^:p', in K, und es sei /> eine Primitivzahl nach p. Jede 



Zahl u in k, die zu p prim ist, genügt dann offenbar einer Con- 

 .ü;ruenz der Form 



•ö 



wo n- eine Zahl aus der Reihe 0, 1, li, ;>--, und a^ eine ganze 



Zahl in k ist, welche die Congruenz 



ao=\, (p) 

 beh'iedigt. Demnach ist «o ein /ter Potenzrest nach p' : 



0.0 = /, (p"). 



Ferner sei eine Zahl P in K so bestimmt, dass 



1) Vgl. Hubert, Bericht, §130, wo der Satz für dou Kreiskörper der Zt,«u Einheitswurzeln 

 ■auff^estcllt ist, allerdinj^-s ohne i>-enaue Angabe des critisdien Wertes des Exponenten ein (III.) 



