26 Art. 9.— T. Taka^-i : 



Das ers^e Glied auf der recliten Seite ist genau durch die sl+V^, 

 alle folgenden Glieder bis auf das letzte durch höhere Potenzen 

 von i^ teilbar; das letzte Glied aber niöge genau durch S" teilbar 

 sein. Nach dem vorhin Bemerkten ist dann 



a.>l + v{I — i), 



ausser wenn ^' = oder =1 (/). Da der l^xponent der höchsten in 

 S(/l) aufgehenden Potenz von v; durch / teilbar sein muss, so ist 

 jedenfalls 



sl + l^a. (2) 



Hieraus folgt für ^'^O, ^1, (/), 



s/>v(/-l). 



Dassell)e muss aber auch für r=], (/) gelten, weil dann 



durch / teilbar, folglich das Gleichheitszeichen in (2) ausge- 

 schlossen ist. Wenn endlich ^ = 0, (/), so ist a=l+v(l—l) nicht 

 durch / teilbar, daher muss in (2) notwendig das Gleichheitszeichen 

 gelten, also 



womit der Satz bewiesen ist. 



Wenn k die primitive r Einheitswurzel C enthält, und wenn 

 ein Primideal ( genau zui- ^**" JV)tenz in (1— C) aufgeht, dann ist 

 s=(7 (/—]). Ist dann /^- eine Zahl von k die genau durch eine 

 Potenz von i teilbar ist, deren Exponent zu / prim ist, dann geht 

 I in die Kelativdiscriminante (\e>^ relativ cyclischen Körpers K = 

 k (^/i) auf, und die entsprechende Zald v nimmt den grösstmög- 

 licheii Wert al an. Wenn dagegen /< nicht durch / teilbar ist und 

 m der höchste Exponent bedeutet, fin- den es eine Zahl a in k 

 gibt, so dass // = «/(r"), dann ist die Kelativdiscriminante von 

 K = k(^//) nur dann durch l teilbar, wenn j/Knl. Jn diesem 



