Ueber eino Theorie des relativ Abel'scheu Zahlkörpers. 25 



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(al^;o wenn •>> duivh /— 1 teilbar ist). 



Beweis. Es genügt, den zweiten Teil des Satzes zu beweisen. 

 Sei A eine genau durch die erste Potenz von .^ teilbare Zahl von K. 

 Ist dann A genau durch 2' teilbar, dann kann man eine zu 2 prime 

 Zahl B so Ijestimmen, dass 



ä=Bä% (fi"), (1) 



won ein Ijeliebig grosser Exponent sein kann. Ist nun ^'^(». (/), 

 dann ist sj'— j' genau durch S''+'' teilbar, daher auch 



sA-A=B(sA'-Ä'') + (isB-B)sA", (S") 



genau durch S''+' teilbar, weil das zweite Glied rechts wenigstens 

 durch i:î''+'+^ teilbar und nach Annahme u>v + e ist. Ist aber 

 .6=0, (/), dann kann man in (1) a' durch eine Zahl À von k erset- 

 zen, welche genau durch die eiT" Potenz von l teilbar ist; man 

 erhalt dann 



sA-A = (^B-By, (S"), 



folglich ist s^I— ^1 gewiss durch eine höliere als die v+e^"" Potenz 

 von 2 teilbar. 



Bildet man daher aus der Zahl A:=hA — ä wieder die Zahl 

 ^Tl<;=s.ii— .II, und sofort, bis man erhält ^„=syi„_,—^4„.i, welche 

 letztere Zahl A„ symbolisch mit 



bezeichnet sein möge, dann ist dieselbe genau durch die e + iiv^ 



Potenz von ,ß teilbar, wenn keine der n Zahlen e, e+v, e+'2v, 



■e+(n—l)v durch / teilbar ist, andernfalls aber gCAviss durch eine 

 höhere als die e + nv^" Potenz von S teilbar. 

 Vermöge der Identität 



+i(x-iy--+(x-iy-' 



schreiben wir nun die Relativs^^ur von A in der Form: 



