Ui'liei- oiue Theorie dis relativ Aliel'selien Zalilkörpers. 23 



anzuwenden haben. Es sind die Sätze, welche die Zerlegungs- 

 Trägheits- und Verzweigungs-körper eines Primideals betreffen, 

 die zuerst von D. HilberL'^ für die absolut normalen (Galois' sehen) 

 Körper aufgestellt, und von IL Weber^^ für die relativ normalen 

 Körper verallgemeinert worden sind, und die wir hier für die 

 relativ xVbel' sehen Körper specializiren werden. 



Sei K/k relativ Abel' seh vom Kelativgrade n. Ein Primideal 

 p vom Grundkörper k wird in K auf einer folgenden Weise in die 

 Primfactoren zerlegt: 



v={%%. %y, 



wo 



n-egf, 



und /" der Relativgrad"'^ von jedem der relativ conjugirten Ideale 

 "^v '^^2, -4?« von K in Bezug auf k ist. 



Die Zerlegungskörper von diesen relativ conjugirten Prim- 

 idealen in Bezug auf k sind, wenn K relativ Abel' seh ist, ein und 

 derselbe 0]:)erkörper von k, so dass wir berechtigt sind, ihn als der 

 Zerlegungskörper für das Primideal p im Oberkörper K zu bezeich- 

 nen. Gleiches gilt für den Trägheits-, und Verzweigungs-körper. 



Der Zerlegungskörper K- für p ist vom Relativgrade e in Bezug 

 auf k, er ist der grösste in K enthaltene Oberkörper von k, in 

 welchem p in die von einander verschiedenen Prim ideale des ersten 

 Relativgrades zerfallt. 



Der Trägheitskörper K^ für p ist vom Relativgrade ef in 

 Bezug auf k, und relativ cyclisch vom Grade /' in Bezug auf den 

 Zerlegungskörper K,. Er ist der grösste in K enthaltene Ober- 

 körper von k, dessen Relativdiscriminante prim zu p ausfällt. 



Der Verzweigungskörper K„ für p ist relativ cyclisch in Bezug 

 auf den Trägheitskörper K,, dessen Relativgrad ein Teiler von^-^^'-I 

 ist, wo j9^ die Norm von p in k, alsop'-^' die Norm von '-P in K ist; 

 dieser Relativgrad ist als der grösste Teiler von y bestimmt, welcher 



1) D. Hilbert,Grunclzüge einer Theorie des Galois'schen Zahlkörpers, Göttinger Nachrich- 

 ten, 1894; vgl. auch Bericht, §§ 39^7. 



2) H. Weber, Lehrbuch der Algebra, 11. (2 Aufl.) 19. Abschnitt. 



3) H. Weber, 1. c. S. 645. 



