Uülier eine Theorie ilös relativ Atersclicn Zahlkörpors. 9 



Es sei nun ii eine Untergruppe der Classeiigruppe nach o 

 vom Index h. Dann gibt es bekanntlich A S3'"steme der Gruppen- 

 charactere 



Zi' /-'>••■ /,„ 



welche für die ('lassen in h den Wert 1 liaben. Dementsjirecbend 

 •definiren wir nach Weber die h Functionen Ç,(.s) durch die unend- 

 lichen Eeihen: 



Qis)='ixix)Ä{s)=LML, (f=i, 2, h) 



wo sich die erste Summe auf die h Classen a, die zweite auf die 

 sämtlichen ganzen Ideale von g erstreckt. Diese Reihen con- 

 vergiren absolut wenn .5>1. Ist 2, der Hauptcharacter, dann 

 geht für .5=1 



in den endlichen von Null verschiedenen Grenzwert ^A über: für 

 die A— 1 anderen Charactere gehen die Functionen 



Qi{s) (i=2,8, h) 



gleichfalls für 5=1 in die endliche Grenzwerte über, die jedoch 

 auch verschwinden können. 



Die Functionen Qls) lassen sich, so lange .s>l, in unendliche 

 Producte entwickeln: 



1 _ /.(y) ' 



•wo p die sämtlichen Primideale von g durchläuft. 



Definiren wir demnach die Function log Q.,{s) durch die eben- 

 falls für s^>\ unbedingt convergente Reihe: 



loga(.)=-Vlog(l-^) 





