8 Art. 9.— T. Takagi : 



§. 2. 

 Congruenz-classengruppen. 



Von einer besonderen Wichtigkeit ist nun der Fall, wo die 

 Zalilengriippe o die folgende Bedingung erfüllt: ^^ 



Es sei a ein beliebiges ganzes Ideal in g, und T{t) die Anzalil 

 der in ô enthaltenen durch a teilbaren ganzen Hauptideale, deren 

 Norm nicht grösser als die positive Grösse t ist. Dann soll 



N(aj 

 und folglich 



Lim ^=-J!— 



t=x t N(a) 



sein, worin g eine endliche von Null verschiedene positive Grösse 

 ist, (h'e nur von den Gruppen q und o, aber nicht von / und von 

 der Wahl des Ideals a abhängt, wälu'endJ/ eine Function von / 

 ist, welche mit unendlich wachsendem t nicht unendlich wird, und 

 o endlicli eine nur von dem Körper k abhängende positive Grösse 

 bedeutet, die kleiner als 1 ist. 



Unter dieser Voraussetzung folgt, wenn für ein variables s>\ 



N(ir 



gesetzt wird, worin j die sämtlichen ganzen Ideale einer Classe a 

 nach (» durcli läuft, 



.s— 1 



wo G{s) eine inunction ist, welche für .s=l in einen endlichen 

 Grenzwert üljei-geht."-' 



Hieraus folgt zunächst, dass die Classenzahl nacli <> endlich 



ist.^'^ 



1) H. Webex-, Ueber die Zahlengruppen usw., Math. Ann. 49., S. 84. 



2) Do. S. 85. 



3) Die Vorans-setzimg 2. bei Weber, a. a. O. ist in der Voraussetzung 3. enthalten. 



