Uebor eine Tlicoric der relativ A))cr sehen Zahlkorpers. 7 



Die Hixuptidealc, welche in ii enthalten sind, bilden für ^ich 

 eine Gruppe Hq, offenbar vom endlichen Index. Definiren wir dann 

 die Classen nach iio, so sind die Classen nach n nichts anders als 

 die Zusammenfassung einer gleichen Anzahl der Classen nach ii,,; 

 mit anderen Worten, die Classengrui)pe nach h ist die comple- 

 mentäre Gruppe o/ir, wenn die Classen nach itq zu Grunde gelegt 

 werden. 



Jedem Hauptideal (a) von Ho entspricht nun ein System von 

 associrten Zahlen e«, wo e Einheiten von k bedeutet. Betrachten 

 wir nun diese Zahlen einzeln für sich, dann bilden sie in ihrer 

 Gesamtheit eine unendliche Abel' sehe Gruppe, deren Elemente 

 einzelne Zahlen sind, und in welcher die Multiplication die 

 Compositionsregel abgibt. Daher kann man mit Weber zur 

 Definition des Classenbegriffs eine Zahlenp'uppe zu Grunde legen. 



Die Gesamtheit^ / der ganzen und gebrochenen, zu dem 

 gegebenen Ideal in primen Zahlen des Körpers k ist eine Gruppe; 

 es sei o eine Untergruppe derselben, von welcher der Index (z: o) 

 endlich ist. Jede Zahl von o definirt ein zu m primes 

 Hauptideal, die Gesamtheit desselben ist dann eine Idealen- 

 gruppe, die wir vorübergehend mit ö bezeichnen wollen. Dann 

 bilden nach Weber die Ideale eines Complexes öa eine Idealclasse 

 nach o, also speciell die Ideale von n die Hauptclasse. 



So werden die sämtliclien zu m primen Idealen von k in 

 Classen verteilt. Die Beschränkung, dass nur die zu m primen 

 Ideale in Betracht gezogen werden, ist für die Classeneinteilung 

 ohne Belang, denn jede Idealclasse im absoluten Sinne enthält die 

 zu m primen Ideale. Erst durch die Einführung der Zahlen- 

 gruppe o Avird jede absolute Idealclasse in eine dieselbe Anzahl 

 d von den Classen nach o zerlegt. Diese Anzahl d bestimmt sich 

 nach Weber durch die Formek-* 



,7- (z:o) 



(E : Eo) 



wenn i: die Gruppe der sämtlichen Einheiten in k, Eo diejenige der 

 Einheiten in o, und allgemein (a:t^) den Grupi^enindex bedeutet. 



1) H. Weber, Math. Ann. Bd. 48, S. 443. Lehrbuch, III, S. 598. 



