(3 Art. 9.— T. Takagi : 



Ist nun a eine Zalil in Hj,, dann muss in h^^ eine Zahl ,.? geben.. 

 derart, dass 



a=z}(ß^ oder ;f = — '— ; 



SO ersclieint n als Quotient zweier zu f primeii llingzablen. 

 Wenn umgekehrt a, h zwei zu f prime Körperideale sind, und 

 bestellt zwischen ihnen die Gleichung:' 



wo M ein Quotient der Ringzahlen ist, dann besteht für che 

 zugeordneten Ringideale die Relation: ' 



Es kommt daher auf dasselbe hinaus, ^\■enn man unter g die 

 Gi'samtheit der zu f primen ganzen oder gebrochenen Kra*- 

 perideale versteht, unter o die Gesamtheit der Hauptideale, 

 welche durch die Quotienten der zu f primen Ringzahlen, 

 eventuell mit Vorzeichenbedingungen, erzeugt werden, und die 

 Gruppe (r nach dieser Untergruppe o in die Complexe der Form 

 oa zerlegt: die Ringideale einer und derselben Ringclasse werden 

 den Körperidealen eines und desselben Complexes oq zugeordnet, 

 und umgekehrt. 



Ein weiterer Schritt wurde durcli Heinrich AA'eber'^ getan. 

 Wir betrachten nach ihm die Gruppe u der sämtlichen Ideale des 

 Körpers k, welche (in Zähler und Nenner) zu einem gegebenen 

 Ideal in, dem Exkludente'n, relativ prim sind. Ist dann n eine 

 beliebige Untergruppe von c; vom endlichen Index /^ und 

 zerlegen wir (i in die h Complexe der Form na, dann sollen die 

 Ideale eines und desselben Complexes in eine Classe, speciell die 

 der Gruppe n selbst in die Hauptclasse, gerechnet werden; zwei 

 Ideale von <; sind demnach aequivalent nach ir genannt, wenn ihr 

 (.Quotient der Idealengruppe ii angehört. Offenbar ist der Classen- 

 l)egrifï im gewöhnliclien, absoluten Sinne ein sehr specieller Fall 

 dieses allgemeinGn Classenbegriffs. 



1) H.Weber. Uol)er ZahlengrupiJcn in .alt;-el>raisclion Kürperu, Math. Ann. 43-50. 

 Lehrbuch, der Algebra, III., § 161. 



