4 Art. 9.— T. Takagi : 



Die Ge>anit}ieit aller Ideale, welche einem gegebenen aequivalent 

 sind, fassen Avir in eine Idealclasse zusammen. Dann ist die- 

 Anzabl h der Idealclassen im Körper k endlich. Diese Classen 

 lassen sich durch Multiplication zusammensetzen: sind nämlich 

 A, IÎ irgend zwei Classen, n, h beliebige Ideale dieser Classen, dann 

 gehört das I*roduct n h einer durcli die Classen a, r. eindeutig, 

 bestimmte, von der Wahl der Representanten a, ,(i unabhängige 

 Ciasse AB. Die h Classen bilden in der Tat eine Abel' sehe 

 Gruppe, in Avelcher die Multiplication als die Regel der Zusam- 

 mensetzung gilt, und die Hauptclasse die Stelle des Hauptelementes 

 einnimmt. 



Man kann auch die Gesamtheit der ganzen und gebrochenen 

 Ideale des Körpers k als eine (unendliche) Abel' sehe Gruppe g 

 auffassen, indem wir die Ideale durch Multiplication zusammen- 

 setzen. Dann bilden eben die Gesamtheit der ganzen oder 

 gebrochenen Hauptideale eine Untergi'uppe o vom Index k] sind 

 ûi, a2,...(ih ein System der Representanten der A Classen, dann ist 

 in einer, in der Gruppentheorie üblichen, Bezeichnungsweise: 



G = oai + ono-l f-oa/.. (1) 



Eine engere Fassung des Classenbegriffs hat sich bei den 

 verschiedenen Problemen als von Nutzen erwiesen. Es werden 

 die Ideale n, b nur dann als aequivalent aufgefasst und in eine- 

 und dieselbe Classe gerechnet, wenn ihr Quotient einem Haupt - 

 ideale {>c) gleich ist, wo ?' gewisser Bedingungen betreffs des 

 Vorzeichens unterworfen ist. Es ist zum Beispiel verlangt, dass 

 ?f positive Norm habe", oder dass n total positiv sei,''' d.li. die 

 mit H conjugirten Zahlen in den sämtlichen mit k conjugirten 

 reellen Körpern kj, ks.-.k, jwsitiv seien. Solche Vorzeichenbedin- 

 gungen lassen sich in allgemeinster Weise wie folgt auffassen: 

 Das System der Vorzeichen, welche die mit « conjugirten Zahlen 

 in kl ks.-.k;. aufweisen, sei mit 



l)ezeichnet, wo e=±l ist; wir wollen es kurz die Vorzeiduitccm- 



1) Vgl. Hil}>ert, éericlit, § 24. 



2) Hilljort, Eclativ Abel. Zalilkch-per, § 5. 



