2 Art. 9.— T. Takagi : 



3) Diejenigen Primideale des Grundkörpers, welche der 

 Hauptclasse (im verallgemeinerten Sinne) angehören und nur diese 

 erfahren im Oherkörper eine Zerlegung in die Primfactoren der 

 ersten Relativgrade; allgemeiner hängt die weitere Zerlegung der 

 Primideale des Grundkörpers in dem Oberkörper nur von der 

 Classe ab, der die Primideale im Grundkörper angehören. 



Es ist dies eine naturgemässe Yerahgemeinernng der 

 Grundeigenschaften des Classenlcörpers, welcher zuerst von D. 

 Hilbert eingeführt wurde und die Theorie desselben von Ph. 

 Furtwängler weiter fortgeführt worden ist. Jener Oberkörper sei 

 daher als der allgemeine Classenkörper für die zugehörigen 

 Idealengruppe des Grundkörpers bezeichnet, welche Gruppe die 

 Hauptclasse (im verallgemeinerte! i Sinne) des Grundkörpers 

 bildet. 



Eine wichtige Tatsache in der Theorie des relativ Abel' sehen 

 Zahlkörpers ist nun die, dass umgekehrt zu jedem relativ 

 Abel' sehen (Jberkörper eine bestimmte Classengruppe nach einem 

 geeignet gewählten Idealmodul in dem Grundkörper existirt, 

 welcher jener Oberkörper als Classenkörper zugeordnet ist, so dass 

 die relativ Abel' sehen Oberkörper einerseits und die Idealen- 

 gruppen in dem Grundkörper anderseits einander characterisirend 

 in wechselseitig eindeutiger Beziehung stehen. 



Ich habe so w^eit als möglich diese Theorie ohne die üljlichen 

 Voraussetzung entwickelt, dass der Grandkörper die Einheitswur- 

 zeln enthalte; liierbei haben sich die von Hilbert eingeführten, 

 einem i*riniideal in relativ normalen Körper zugehörigen Körper, 

 Avelche die weitere Zerlegung des Primideals des Grundkörpers 

 behersschen, als ein sehr nützliches Hülfsmittel erwiesen. 



Unter den Anwendungen dieser Theorie sei der Existenz- 

 beweis für die unendliclivielen J^rimideale ersten Grades in jeder 

 Classe (im verallgemeinerten Sinne) eines beliebigen algebraischen 

 Zahlkörpers hervorgehoben; es ist dies eine schöne Verallge- 

 meinerung des classischen Dirichlet' sehen Satzes über die Prim- 

 zahlen in einer arithmetischen Reihe. 



Als ein Beispiel und eine naheliegende Anwendung der 

 allgemeinen Tlieorie habe ich die der relativ Abel' sehen Körper 



