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VOL. XLI., ARTICLE 9. 



Ueber eine Theorie des relativ Abel'schen 

 Zahlkörpers. 



Von 



Teiji TAKAGI, Uigakuhakiishi, 

 Professor der Mathematik an der Kaiserl. Universität zu Tokyo. 



Der vorliegende Aufsatz ist die ausführliche Darlegung einer 

 Theorie des relativ Abel'schen Zahlkörpers, deren Umriss vor 

 einigen Jahren in den Proceedings der hiesigen Mathematisch - 

 Physikalischen Gesellschaft selir knapp und mangelhaft skizzirt 

 worden ist. 



Diese Theorie stützt sich auf den verallgemeinerten Begriff 

 der Idealclassen, welcher sich in der modernen Theorie der 

 algebraischen Zahlen allmählich entwickelt, und durch Heinrich 

 AVeber eine explicite Formulirung in der sehr allgemeinen Form 

 gefunden hat. Es werden danach zwei Ideale eines algebraischen 

 Körpers nur dann als aequivalent betrachtet und in dieselbe 

 Idealclasse gerechnet, wenn ihr Quotient durch eine Zald 

 dargestellt werden kann, welche gewisser Congruenzbedingung 

 nach einem A'orgeschriebenen Idealmodul des Körpers genügt. 

 Es existirt alsdann zu einem beliebigen algebraischen Zahlkörper 

 ein bestimmter relativ Abel' scher Oberkörper von der folgenden 

 Beschaffenheit: 



1) Die lielativdiscriminante des Oberkörpers enthält die 

 und nur die Primideale als Factor, welche in den Idealmodul des 

 Grundkörpers aufgehen, der der Ciasseneinteilung in demselben 

 zu Grunde gelegt wird. 



2) Die Galois' sehe Gruppe des Oberkörpers in Bezug auf 

 den Grundkörper ist holoedrisch isomorph mit der Classengruppe 

 (im verallgemeinerten Sinne) des Grundkörpers. 



