Uel>er eine Theorie des relativ Aberschen Zahlkörpers. 91 



Da Satz 2S sdioii fin- die relativ cycliscliGii Kürper vom 

 Primzalilgrade in Satz lo Ijewiesen worden ist, so handelt es sich 

 jetzt darum, den letzteren auf die relativ cychschen Körper vom 

 Primzahlpotenzgrade zu verallgemeinern. 



§. 24. 



Lieber die Geschlechter im relativ cyclischen Körper eines 

 Primzahlpotenzgrades. 



Um am Ende des vorigen Artikels angezeigten Beweis 

 durchzuführen, stellen wir den folgenden Satz auf. 



Satz 29. Ks sei K/k ein relativ cycUscher Körper vom Prim- 

 zahlipotenzgreide /''. Dann yiht es stets ein Ideal m in k, welches jedes 

 in die Relativdiscriminante von K auf<jehende Primideal von k cds 

 Factor^ und zwar solches, welches zu l prim ist. zur ersten, dagegen 

 solches, ivelches in l aufgeht, zu einer hinreichend /when Potenz, 

 enthält, von der Art, dass K Classe nkörper für eine Classe ngriq^pe vom 

 Index /'' nach dem llodul m ist. 



Ferner Idsst sich im Oberkörper K ein in m aufgr/a ndes Ideal 3i)l 

 auffinden, derart, dass, ivenn die Classen in K wul k nach den 

 Zahlengriq^pen deßnirt werden, die aus den Zahlen dieser Körper 

 bestehen, welche hez. nach den 3Iodidn Wi, m mit 1 congruent sind, jede 

 Classe von K, deren Pelativnorm die Ilauptclasse von k ist, die 

 symbolische l — s^" Potenz einer Classe von K ivii^d, wenn s eine erzeugende 

 Suhstitidion der Galois'schen Gruppe des Pelativh'yrpers K/k bedeutet. 



Beweis. Zunächst sei das Folgende l)emerkt: Wenn es 

 nachgewiesen wird, dass der Körper K einer Classengruppe h vom 

 Index /'' als Classenkörper zugeordnet ist, dann ist klar, dass die- 

 complementäre Gruppe g/h notwendig cyclisch sein muss, wo Vr, 

 wie immer, die vollständige Classengruppe von k hedeutet. Denn 

 andernfalls musste es mehr als eine Classengruppe vom Index l 

 geben, welche n enthält, und jeder derselben nacli Satz 2o ein 

 relativ cyclischer Körper vom Relativgrade / als Classenkörper- 

 zugeordnet sein muss. Diese Körper mussten aber nach Satz 6 

 sämtlich in K enthalten sein, was unmöglich ist, weil K relativ 

 cyclisch sein sollte. 



