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der zuerst von D. Hubert eingeführte Classenkörpe]' von- k, 

 den wir als den absoluten Classcnlcörper bezeichnen wollen. Ist- 

 ferner m der Fülirer eines Ringes in k, dann ist derjenige Körper, 

 welcher Hubert gelegentlich'^ als einen Eingclassenkörper be- 

 zeicliiiet hat, als einen Unterkörper in K (m) enthalten, wie über- 

 haupt jeder Classenkörper für irgend eine Classengvuppe nach dem 

 Modul m. 



Eine Avichtige Frage ist nun, ob auch urngekehrt jeder relativ 

 Abel' sehe Körper in Bezug auf k als Classenkörper einer Classen- 

 gruppe nach einem geeignet gewählten Modul m in k zugeordnet 

 ist? Die-e Frage ist im bejahenden Sinne zu beantworten: 



Satz 28. Alle relativ AbeVschen Körper in Bezng auf einen 

 helieb'uji n algebraischen Körper 'werden durch die Classenkörper nach 

 den Idealmoduln i7i demselben ersch'öpft. 



]]s genügt, diesen Satz für die 'relativ cyclischen Oberkörper 

 vom Primzahlpotenzgrade zu beweisen. 



Denn aus solchen lässt sich jeder relativ Abel' sehe Körper 

 zusanmiensetzen. Anderseits seien K, K' relativ Abel' seh von 

 den Kelativgraden n, n in Bezug auf k und bez. den Classengruppen 

 II, Ji' nach den Moduln iit, m' als Classenkörper zugeordnet. Ist 

 11I^, das kleinste gemeinsame Vielfaches von m und m', dann sind 

 H, \\' al> Classengruppen nach dem Modul iiio aufzufassen. Unter 

 der Voraussetzung, dass K, K' keinen gemeinsamen Unterkörper 

 über k enthalten, folgt, dass die Gruppe [ir, ii' ] mit der 

 vollständigen Ciassengrappe g von k zusammenfällt, weil sonst 

 der zu der Classengruppe (ii, ii' } geluirige Classenkörper nach 

 Satz (') notwendig sowohl in K als auch in K' enthalten sein 

 musste. Da nun ii, ii' bez. vom Index n, n' sind, und 

 {ii, n']=(r, so muss die grösste gemeinsame Untergruppe iin von 

 II und \\ notwendig vom Index nn' sein. Weil aber die 

 lielativuormen der Ideale von dem zusammengesetzten Körper 

 KK' VDiii Belativgrade nn' sämtlich in Uq enthalten sind, so folgt, 

 dass KK' der Classenkörper für die Classengruppe iio ist. Da 

 dasselbe auch von mehreren relativ Abel' sehen Kör])ern K, K,' 

 K"... gilt, so folgt das Gesagte. 



1) D. Hilpert, ü1>er die 'J'hoorie der relativ Aberschen Körper. Göttiiiger Nachr. 1898. 



