Ueber eine Theorie îles relativ Abel'schen Zahlkörpers. g9 



• Hieraus folgt aber weiter, dass K voim Relativgrade n ist und 

 <lass die (ralois'sche Gruppe des Kelativkiirpers K/k mit der eom- 

 plementären Gruppe o/ir holoedrisch isomorph ist. 



Da endlich die Relativdiscriminante jedes der Körper Ki, Kg, 

 ...K, kein Primideal als Factor enthält, welches nicht in den 

 ]Modul m aufgeht, so gilt dassalbe auch \-on der Relativdiscriminante 

 von K. 



Wie man sieht, erfüllt der Körper K alle Forderungen des zu 

 Beginn dieses Capitels aufgestellten Satzes 23, w^elcher nunmehr 

 in allen seinen Teilen vollständig IJe^viesen worden ist. 



CAPITEL IV. 



Weitere allgemeine Sätze. 



§ 23. 



Der Vollständigkeilssalz. 



Ist m ein beliebiges Ideal im Grundkörper k, o^ die Z'ixXÛQn- 

 gv\i^\)e dev iotal positiven Zahlen «, welche die Bedingung: o/sl, 

 (m) erfüllen, dann ist die Classenzahl nach o"^ durcli die Formel 

 gegeben: 



e 



■wo /i^,=/t(l) die Classenzahl im absoluten Sinne, (f die Euler' sehe 

 Function, und 



e=(E:Eo) 



■der Gruppenindex ist, wobei e die Gruppe der sämtlichen 

 Einheiten in k, die Einheitswurzeln mitgerechnet, und Eo die 

 Gruppe der Einheiten in o"^ bedeutet. 



Dann existirt nach Satz 23 ein relativ Abel' scher Körper vom 

 Grade h{m) in Bezug auf k, welcher Classenkörper für die durcli 

 o"^ erzeugte Idealengruppe in k ist. Derselbe sei mit K (m) 

 bezeichnet. 



Dieser Körper K (m) soll der vollständige Classenkörper nach 

 cdem Modul ni genannt werden. Für iii=(l) ist der Körper K(l) 



