88 Art. 9.--T. Takagi : 



§ 22. 



Exislenzbeweis im allgemeinen Falle. 



Nachdem im Vorhergehenden unser Existenzsatz in allen 

 denjenigen Fällen bewiesen worden ist, wo die complementäre 

 Gruppe der gegeljenen Classengruppe cyclisch von einer Primzahl- 

 kotenzordnung ist, können wir nun den allgemeinen Fall rascli 

 erledigen. Sei also ii eine Classengruppe von einem beliebigen 

 • Index n nach dem Modul m mit oder ohne Vorzeichenbeschrän- 

 kung. Es seien ferner Ci, Cg, ...cv ein System der Basisclassen von 

 den Primzahlpotenzordnungen //'i, 4''-,...^,'*'" der vollständigen 

 Classengruppe fr in Bezug auf h, derart dass 



G=[Ci, Ca. c,, h], 



n=/i'*i4''2 //''•. 



Diejenige Untergruppe von g, welche äussern noch die sämtlichen 

 Basisclassen mit alleiniger Ausnahme von c, enthält, sei mit 

 ir, bezeichnet, so dass (^/hp cyclisch von der Ordnung /p''^' ist. 

 Ist dann Kp der Classenkörper für hp, deren Existenz in den 

 vorhergenden Artikeln Ijewiesen worden ist, dann entsteht durch 

 Zusammensetzung der r Körper K„ Kj, •••K. ein relativ Abel' scher 

 Körper K, welcher der gesuchte Classenkörper für die Classen- 

 gruppe ir sein wird. 



Denn da die Belativnormen der Ideale des zusamniünge- 

 setzton Körpers Ki Kg offenbar sowohl der Classengruppe Hi als 

 audi iio, folgHch der Classengruppe [c3,...h] vom Index A''' LJ'- an- 

 gehören, so folgt nach Satz 4, dass der Relativgrad von Ki K2 

 wenigstens gleich //'i /a'"-^ sein muss. Anderseits kann aber dieser 

 llehuivgrad liöchstens gleich dem Product der Relativgi'ade der 

 beiden Körper K, und Kg sein; also ist er genau gleich IJ'^ IM . 

 ]Mit andern Woi'ton: K, K2 ist der Classenkörper fin- die Classen- 

 gruppe [Cs,...h}. So fortfahrend überzeugt man sich davon, das> 

 der Körper K = l\, K0...K,. in der Tat der Classenkörper für die 

 Classengruppe 11 ist. 



