Ucter ciiio 'riicorio d<\s ulativ Abel'schen Zahlkörpers. gy 



Bedeutet dalier & die (îaluis'sche Gruppe des relativ normalen 

 Körpers K/k, dann ist @ von der Ordnung l'', und es enthalt & 

 eine einzige Untergrup])e @„ vorn Index / (welche die Zahlen von 

 k' unverändert lässt), und es ist 



@=@o+@„s+ + @„s.'-^ 



Hieraus ist aber zu sehliessen, dass ® cyclisch, also s von der 

 Ordnung f' sein muss. Denn widrigenfalls musste es bekannt- 

 lich'^ in & eine l'ntergruppe der Ordnung Z"'^ geben, welche s 

 enthält und folglich von @o ^'erschieden wäre. Daher ist K 

 relativ cjclisch in Bezug auf k. 



Wenn die Relativdiscriminanten der Relativkörper k'/k und 

 K/k' bez. mit b und b' bezeichnet werden, dann ist die Relativ- 

 discriminante von K/k gleich bb'^ Da nach Annahme jeder Prim- 

 factor von b' in in' also auch in in aufgeht, und da dasselbe eben- 

 falls von b gilt, so ist die Relativdiscriminante von K/k durch 

 kein Primideal teilbar, Avelches nicht in m aufgeht. 



Oben haben wir die Vorzeichenbedingung für die Classen- 

 gruppe IT ausser Betracht gelassen. Um unseren Existenzbeweis 

 für /=2 allgemein zu führen, liaben wir die Classen von k nach 

 total positive]' Zahlengruppe zu definiren, und demgemäss nach 

 Satz 22 die Classen von k' einer entsprechenden Vorzeichen- 

 bedingung zu unterwerfen. Tatsächlich ist aber, wenn der Index 

 von H grösser als 2 ist, und <t/h c^^clisch, jede Vorzeichen- 

 bedingung für die Gruppe Gq= [c-, h] ohne Belang, so dass k' ein 

 relativ quadratischer Körper von der im ersten Teil des Satzes 27 

 erläuterten Art ist. Es musste dies so sein, wenn uberhauj^t ein 

 relativ cyclischer Körper vom 2'' ten Grade existiren soll, welcher 

 den Körper k' als Unterköi-per enthält. Denn für einen reellen 

 Grundkörper muss jeder relativ cyclische Körper vom Grade 2'' 

 notwendig den reellen Unterkörper vom Relativgrade 2''"^ ent- 

 halten. 



1) Vgl. z.B. H. Weber, T,ehrbuch der Algebra, II (2te Aufl., Braunschweig, 1899) S. 140. 

 Uer hier benutzte Griippensatz ist ein specieller Fall eines allgemeinen Satzes von W. Burn-; 

 side : vgl. deseen Thtory of finite groups (2. ed. Cambridge, 1911.) p. 131-132. 



