Uel)t'r eine Theorie des relativ Aliel'schen Zalilkörpers. 93 



(1er Classen von K in Bezug auf K' eine Classengruppe H' vom 

 Index / nach d)l' ausmachen, und speciell die Classen von K, 

 deren Relativnormen die Hauptclasse nach W sind, symbolische 

 1— s' te Potenzen der Classen von K sein müssen. 



Da nun die Classengruppe H' ihrer Bedeutung nach offenbar 

 gegenüber s invariant ist, so ist zu schliessen, dass die (1— s) te 

 Potenz jeder Classe von K' notwendig in li' enthalten sein muss. 

 In der Tat: sei C eine nicht in H' enthaltene Classe von K', 

 so dass auch C" nicht in H', folglich in einem Classe ncomplex H'C" 

 enthalten sein muss, wo'« eine Zahl aus der Reihe: 1, 2, .../— 1 



f» 71 



bedeutet. Da dann C" in H'C" enthalten ist, so folgt, wenn man 

 n — f'^ macht, dass die (1— a")*^ Potenz von C in H' enthalten ist, 

 d. h. es ist 



«''"' = 1, (/), 



woraus folgt, dass « = 1, (/), also a=\ sein muss. Es ist daher 

 C^~' in H' enthalten, wie behauptet wird. 



Demnach folgt, nach Annahme, dass alle Classen von K', 

 deren Relativnormen in Bezug auf k die Hauptclasse nach r.i in k 

 sind, in H' enthalten, folglich, da H' nur den /*"' Teil der sämtlichen 

 Classen von K' ausmacht, dass die Relativnormen aller Classen 

 von Iv in Bezug auf k eine Classengruppe h vom Index Z'' in k 

 ausmachen, welche in der Classengruppe n' enthalten ist. 



Nunmehr ist noch zu zeigen, dass die Classen von K, deren 

 Relativnormen in Bezug auf k die Hauptclasse in k sind, notwendig 

 die symbolischen 1 — s'^" Potenzen in K sein müssen. Da, wie 

 vorhin bemerkt, die complementäre Gruppe g/h cyclisch ist, so 

 kann man in k eine Basisclasse c angeben, deren Ordnung eine 

 Potenz von /, und von der erst die V' te Potenz in ii enthalten ist. 

 Demnach hat man, in einer leicht verständlichen Bezeichnungs- 

 weise 



n A-i 



G = [c, d], h=[c',d], h'=[g' ,d]; 



dementsprechend lässt sich die vollständige Classengruppe von K' 

 in der Form darstellen: 



[c, D'}, (4) 



