■91 Art. 9.— T. Takagi : 



WO D' (leu Inbegriff der Classen vun K' Ijedeutet, deren 

 Relativnurmen in k in d hineinfallen; so dass jede Classe in D' 

 Kelativnorni einer Classe von K in Bezug auf K' ist. 



Sei nun G eine Classe von K, deren llelativnorm die 

 llauptclasse in k ist. Dann ist, nach Annahme 



3t(C) = C'r (5) 



wo l)i die in K genommene Kelativnorm in Bezug auf K', und C 

 •eine Classe von K' bedeutet. Da aber nacli (4) 



C'=c"[D'] (6) 



wo mit [])'] eine Classe von K' bezeichnet wird, Avelche der 

 Gruppe D' angehört, folglich Relativnorm einer Classe D von 

 K ist: 



D' = 9Î(D}. . (7) 



Aus (5), (G), (7) folgt 



Setzt man daher 



di(C)=mçD'-'). 



C=T>'-'A, (8) 



so ist A eine solche Classe von K, dass dl (A) die Hauptclasse von 

 K' ist. Folglich ist A eine 1— s' te Potenz, also auch eine 1— s*" 

 Potenz einer Classe von K. Dasselbe gilt daher nach (8) auch von 

 C selbst, wie zu beweisen war. 



Um eine untere Grenze für den Exponenten u zu bestimmen, sei 

 angenommen, dass das Primideal .!!j von K genau zur l'-'ten Potenz in 

 ( aufgeht, sodass die Verzweigung von i erst in dem Unterkörper 

 von K vom Relativgrade /'"'"^ über k beginnt. Indem wir 

 allgemein mit Ky den in K enthaltenen relativ cyclischen 

 Oberkörper vom Grade T über k bezeichnen, seien ?',, r2,...v .die 

 Zahlen, die mehrmals erklärte Bedeutung'^ in Bezug auf die 



Relativkörper K/._,+i/K,,_^, K/,.,^.jIK;,.j.i, K,,/!"^;,-! l^^T^^en, so dass 



Ijekanntlich 



l^Vi<'y2< <ytf (9) 



1) Es ist V,, die oben (S. 92) mit r bezeichnete Zahl. 



