96 Art. 9.— T. Takagi : 



wu also unter Umständen eine Vorzeichenbedingung für die 

 Ciasseneinteilung in k unentbehrlich werden kann. Gebe es 

 nun in diesem Falle einen mit k conjugirten reellen Körper k'V 

 für welchen der entsprechende mit K conjugirte Körper K"' 

 imaginär ausfällt, dann ist notwendig der in K* enthaltene mit K' 

 conjugirte Körper K"" vom Relativgrade 2"'^ reell. Es ist daher 

 leicht, in Bezugnahme auf Satz 22 einzusehen, dass unser Beweis 

 seine Gültigkeit beibehält, wenn in der Zahlengruppe, welche der 

 Classeneinteilung in k zu Grunde gelegt wird, nur diejenigen 

 Zahlen, die in allen vorhandenen Körpern k"'" positiv ausfallen, 

 umsomehr also, wenn nur die total positiven Zahlen zugelassen 

 werden. 



Durch das Vorhergende ist, nach der Bemerkung am Ende 

 des § 23, Satz 28 allgemein bewiesen worden. Es ist jeder relativ 

 Abel' sehe Körper K/k Classenkörper für eine Classengruppe h 

 in k, deren Führer jedenfalls ein Teiler der Eelativdiscriminante 

 von K/k ist, wie man sich auf Grund des vorhergehenden Beweises 

 leicht überzeugt. Nach Satz 23 ist die Galois' sehe Gruppe des 

 Eelativkörpers K/k holoedrisch isomorph mit der complementären 

 Gruppe G /ii. Allgemeiner ist jec^f^r Unterhörper K'/k von K/k als 

 Classenhörper einer Classengrupjje h' zugeordnet, welehe i\[ in sich 

 enthalt und ungekehrt; es ist dabei die Oalols sehe Gruppe des 

 relativ ÄbeVschen Köipers K/K' holoedrisch i.^omo/ph mit der 

 complementären Gruppe h'/h. 



§ 25. 

 Der Zerlegungssatz. 



Wenn K der Classenkörper für die Classengruppe ii des 

 Grundkörpers k ist, dann ist jedes zum Führer der Classengruppe 

 relativ prime Primideal von k, welches in K in die Primideale 

 des ersten Relativgrades zerfällt, in einer Classe von ir enthalten. 

 Umgekehrt gilt der folgende sehr wichtige Satz. 



Satz 30. {Der Zerlegungssafz). Jedes in einer Classengrvpjye 

 eines heUehigen Körpers enthaltene Primideal zerfallt in die von 



