I'olior oino Thoovic des relativ Aliel'sclicn Zalilkörpers. Çf^ 



c'inandei' vergeh icä im » Primîdcalr drs crsfcn lU'hii'wcjiadc^^ hi (hm 

 Chi'<>^enk'ôr2ier für diese C/a^isengnippe. 



Be^yeis. Es genügt, diesen Satz für den Fall zu beweisen, 

 wo der Oberkörper relativ cyclisch von einem Primzahlpotenz- 

 grade ist. Denn die dem Oberkörper K zugehörige Classen- 

 gruppe II ist die grösste gemeinsame Untergruppe der Classen- 

 gruppen, weleheden relativ cyclischen Körpern von den Primzahl- 

 potenzgraden zugeordnet sind, aus Avelchen K zusammengesetzt 

 wird. Zerfällt anderseits ein Primideal des Grundkörpers in allen 

 jenen Körpern in die von einander verschiedenen Primideale des 

 ersten Relativgrades, so muss dasselbe auch in dem zusammenge- 

 setzten Körper K gelton, wie leicht einzusehen ist. 



Sei also K relativ cyclisch vom Kelativgrade l" in Bezug auf 

 k, II die zugehörige und o die vollständige Classengruppe von k, 

 so dass die complementäre (îruppe aju cyclisch von der Ordnung 

 /" ist. Wir setzen 



a 



G = 2'ha% {0^a<z T) 



wo A eine ClavSse bedeutet, von welcher erst die l" te Potenz in ii 

 enthalten ist. Sei ferner c eine Classe in ir, und p ein Primideal 

 der Classe c. Wir nehmen zunächst an, es sei c nicht T^ Potenz, 

 einer Classe von k. I)ann gibt es offenbar eine Classengruppe ii' 

 vom Index L welche nicht die Classe c enthält, und es ist 



Ist dann iio die Durchschnitt der beiden Gruppen n und ii', dann 

 ist iio vom Index /"^\ und man hat 



H=i'H„C^ (0^/9<Z) 



G = 2'Ho A" C*. 



Der relativ cyclische Körper /'*■" Grades über k, welcher der 

 Classengruppe n' zugeordnet ist, sei mit K' bezeichnet. Dann ist 

 der zusammengesetzte Körper KK' vom Relativgrade 1"^^ der 

 Classe nkörper für u«- 



