UoKt eine Theorie ilos relativ Alx-rschm Zahlkörpers. 49 



von K besteht, deren Kelativnornien die Hauptclasse nach o sind. 

 Dann ist der Gruppenindex (G: H) offenbar gleich der Ordnung 

 derjenigen Chissengruppe von k nach o, welche aus der sämtlichen 

 lîelativnormon der Classen von K l)esteht. Daher folgt aus (1) 



(G:H)=4-^^^--, (2) 



i l 



wenn // die Classenzahl von k nach o bedeutet. 



Ferner sei Ho die Gruppe der Classen von K, welche 

 syiubolische 1—s*'' Potenzen der Classen von K sind, so dass der 

 Gruppenindex 



der Anzahl der anibigen Classen von K ist. 



Da offenbar Ho eine Untergruppe von H ist, so folgt nach (2) 



« = (G : Ho) .^ (G : H) .^. -^, (3) 



Nach Satz 14 ist nun'' 



«=:ÄZ'' + '-('+l+*) (4) 



wenn h die Classenzahl von k im absoluten Sinne bedeutet. 



Anderseits ist, wenn o' die Gruppe der sämtlichen zu f 

 primen Zahlen in k bedeutet, nach Satz 10 



(o':o) = /', - (5) 



wo d die Anzahl der von einander verschiedenen in f aufgehenden 

 Primideale in k ist, also dieselbe P)edeutung hat, wie in (4). 



Ist ferner e' die Gruppe der sämtlichen Einheiten in k. und 

 ]■: die der Einheiten in o, dann ist offenbar 



(e':e) = /'-"'-", (6) 



wenn /• und ^ dieselbe T3edeutung haben, wie in (4). und /" die 

 Anzahl der Einheitenverbände in o ist. 

 Deîunach ist"^ nach (5) und (G) 



1) Die Besohränkung-, dass wir hier nur die zu f primen Ideale von K in Betracht 

 ziehen, hat keinen Einfluss auf die Anzahl a geMisser Classen von K, die ja im absoluten Sinne 

 genommen wird, vgl. Satz. 2. 



2) Vgl. § 1, S. 7. 



