44 Art, 9.— T. Takagi : 



die Einheiten des Körpers K mit der Relativnorni 1, von der 

 folgenden Beschaffenheit: 



1°. Jede Einlieit E von K mit der Relativnorm 1 ist in der 

 Form darstellbar: 



E = E,^h E.j"-2 Ep^'fH, 



wo Ui, U2, W/, Zahlen aus der Reihe: 0, 1, 2, /— 1 sind, und 



II eine Einheit von K bedeutet. 



2°. Diese /> Einheiten sind in dem Sinne von einander 

 unabhängig, dass niemals eine Beziehung von der Form 



l=Eni E.^h E,^>p h'' (0^?i<Z) 



bestehen kann, ausser wenn 11^ = 1(2= = w^=0. 



Da N(jE'/) = 1 ist, so gibt es ganze Zahlen Ai in' K, derart, 

 dass'^ 



E,=A,'~^ (/ = !, 2, />) 



und zwar ist nach 2'' ^4^ nicht eine Einheit in K. Das Hauptideal 

 (J,) ist daher von der Form Sj und es ist (Si)'=N(yl,) ein 

 Hauptideal in k. 



Da eine Beziehung von der Form : 



^j"i Ä._^2 ^/'/. =Ha, (0^?6</) 



WO if eine Einheit in K, a eine Zahl in k bedeutet, die andere: 



El"! EV'-' E.^'p =h" 



nach sich zieht, so bedingt sie, dass die Exponenten Ui, «2, ?'<. 



sämtlich verschwinden. Setzt man also 



(J,)=S4, (i=l,2, />) 



so erzeugen diese Ideale genau /'' Elemente der Gru})pe Dq. 

 Ist aber umgekehrt 



ein Ifauptideal in K, so ist 



l-s 



Ä = E, 



1) Vgl. Hubert, Bericht, Satz 90. 



