2]^ß Art. 9.— T. Takagi: 



Endlich seien die folgenden den ÎNIodul der JacobiVclien 

 Functionen betreffenden Tatsachen augeftihrt. weil wir sie später 

 einmal benutzen müssen. 



Es sei (0 eine quadratische Irrationalzald des Köi'pers k, mit 

 der zugehörigen l)iscriminante 2>, d.h. <:'j genüge einer primitiven 

 quadratischen Gleichung mit ganzen rationalen Coefficienten 



wo 



I)=B--^AC=f-J, 



wenn J die Discriminante des Körpers k bedeutet. (Demnach ist 

 w ein (Quotient zweier Zahlen des Ringes mit dem Führer /, 

 speciell ist Aw eine Zahl, die mit 1 eine Basis des Einges bildet). 

 Wir wollen die Wurzel der Gleichung (3) mit dem positiven. 

 imaginären Teil mit 



(o=[A,B,C] 



bezeichnen; dann ist 



\iA.-lB,c], {iÄ,B,^], oder {^, -f , -f-} 



also der Discriminante, 4/>, 1), odei- -^ zugehörig, jenaehdem 



(7=1, (2), C='2, (4), oder /)-0, 6'=0, (4). 



Ist dann n[co) der Modul der Jacobi'schen Function, und 

 adjungirt man dem Körper k jr{M) oder 7.'(w), so ist nach Weber'^ 



\[n\o>y\=u(:if), (G) 



ferner ist 



k[>r(r.>)] = M('2/j (xler M(4/-) (7) 



jenaehdem (7geiade oder ungerach' ist. 



Wendet man dieses Resultat auf a-(-^], dann folgt mit Hülfe 

 der Formol (der (.îauss'sclien Ti'ansformation) 



Ty l+;r( 



+ n{o)) 

 1) H. Weher. T.ehrbuch, III. S. 50.j 507. 



