lieber eine Theorie des relativ Abcrschiu Zahlköipeis. 11<) 



M(4/?) ist allgemein der CIasi?eDgriippe /Aigeordnet, die durch die 

 Zahlen a definirt ist, welche der Coiigruenz 



a = l, 1 + 2;?, (4j?>) 



genügen. 



Da anderseits M(v/?,) nur dann Ap /.um Führer hat, wenn 

 j)i=4p, so ist K(4^) niemals in einem Körper N[(m) enthalten. 



Man sieht hieraus, dass, von den in Satz 34 angegebenen 

 elementaren Körpern, die Ijeiden ersten Typen K(2") und K(p"),. 

 nicht aber der letzte K(4j>) durch die singulären Moduln und die 

 KinheitsAvurzeln zu erzeugen sind, dass um K(4p) zu erhalten, 

 weitere Au>ziehung einer Quadratwurzel unumwendbar notwendig 

 ist.'> 



Allgemeiner ist, wenn m (>-2) eine ganze rationale Zahl ist, 

 K(7>^) Oberkörper von M(w?) vom Relativgrade 2'"^ welche aus p—l 

 unabhängigen relativ quadratischen Körpern über M(m) zusammen- 

 gesetzt werden kann; hierbei hat die Zahl p dieselbe Bedeutung 

 wie oben in (.")). 



Das lùgebnis dieser Betrachlungen formuliren wir als 



Satz 36. Jeder in Bezug auf einen imaginäre n quadratisehen 

 relativ AheV sehe Zahlk'ôrper rom ungeraden Relaiirgrade lässt sich 

 durch Einhcitsivurzeln und singidüre Werte der 3IoduIfnnction J(~) 

 erzeugen, (rlciches gilt auch im Falle eines geraden Belatirgrades, 

 wenn die Belativdiscrrininaide Iceine anderen Printfactoren enthält, als 

 ■solche^ die in eine nnd dieselbe natürliche Primzahl aufgehen; im 

 gegenteiligen Falle alnr kann noch die Adjunction gewisser Quadrat- 

 wwzeln notwendig werden, deren Anzahl im änssersten Falle Iris zu der 

 Anzahl der von einander verschiedenen, durch die Primjactoren der 

 Pelativdiscriminante teilbaren, rationalen Primzahlen ansteigt. 



Wie in den folgenden Paragraphen nachgewiesen -werden soll, 

 können alle relativ Abel'sche Oberkörper erzeugt werden, wenn 

 man noch die Teilwerte der Perioden der Jacobi'schen Function 

 ^n{u) zu Hülfe nimmt. 



.1) Eine z lerst von E. Futter entdeckte Tatsache ; vgl. Math. Ann. 75. 



