20 Art. 9— T. Takagi: 



Hülf.ssatz. Sei K/k ein relativ normaler Körper vom 

 Relativgrade >^ ir eine Classeiigruppe in k vom Index /?, welche 

 nicht dem Körper K zugeordnet zu sein braucht. Dann gil)t es 

 in k unendlichviele Primideale (ersten Grades), die nicht einer 

 Classe vom h angehören, und auch nicht in K in die Primideale 

 vom ersten Relativgrade zerfallen.'^ 



Beweis. AVir beweisen diesen Satz nur in dem Falle, wo 

 h:::^'!. weil wir ihn spater nur für eine Classengruppe eines 

 ungeraden Primzahhndex anwenden werden. Nach Satz 1 gilt 

 für die ül.>er alle nicht in h enthaltene Primideale erstrecke 

 Summe 



wo •^(n) l'ür s=l endlich oder positiv unendlich wird. Anderseits 



ist 



-log^- 4-FGs), 



N(p,)* n ° s-l 



wo 7''Çs) für .$=1 in einen endlichen Grenzwert übergeht, wenn 

 die Summe auf alle Primideale \\ erstreckt wird, die in K in die 

 Prim ideale des ersten Relativgrades zerfallen. 

 Wenn nun A>'2, dann ist jedenfalls 



h-l 1 



woraus der Satz fokt. 



h 



Eindeutigkeit des Classenkörpers. 



Satz 6. fSeien ir, ji' Cldssengrvppen in k; K, K' Icz. die 

 Klassenkwj)er für dieselben. Ist dann ii' Unter gru'p'pe von ir, dann 

 ist K' Oberkörper von K. Fiir eine Classengrnpp)^ kann es daher 

 nicht mehr als einen Classenkörper geben. 



Beweis. Seien K/k, K'/k bez. vom Relativgrade 7i, n'; der 



1) Vo-l. Ph. Furtwiingicr, Math. Annalen 63, S. 23. 



