Ue':H^i" eine Theorie des relativ Aliel'sclieu Zahlkörpers. ][9 



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oder 



k n 



n ^ h, 

 womit der Satz bewiesen ist. 



Dieser Schluss bleibt, wie man sofort erkennt, auch dann 

 gültig, wenn nur vorausgesetzt wird, dass die in ii enthaltenen 

 Primideale vom (absolut) ersten Grade in die Primideale vom 

 ersten Grade in K zerfallen, sogar mit einer endliche^ Anzahl 

 Ausnahme, oder unendlichvielen, wenn nur die über diese 



Ausnahme-ideale erstreckte Summe --^rr-y-für .s=l endlich bleibt. 



Eine wichtige Folgerung des obigen Beweises ist die, dass, 

 wenn n=h, also wenn K Classenkörper für die Glassengruppe it 

 ist, die Function /(.S-) notwendig für s=l endlicli bleibt. Dann 

 sind die Grenzwerte für s=l von den Reihen 



Q,{s) (. = 2, 3, h) 



(§ '2, ^. 0) von Null verschieden, und liieraus folgt, die folgende 

 wichtige Tatsache": 



Satz 5. I/i einem beliebigen algebraischen Körper eMstirt in 

 jeder Classe nach dem Jlodid m eine unbegrenzte^ asymptotisch 

 gleiche j'^ Anzahl von Primidecden ersten Grades; speciell existiren, 

 wenn tx eine beliebige, a eine zu ij. prime, ganze Zahl des Körpers ist, 

 unendlichviele ganze Zahlen, öj in dem K>r]jer, die der (Jongruenz 



x:j =.a, (fi) 



genügen , und von der Art sind, dass {vs) unendlichinele Primideale 

 des ersten Grades darstellen; 



(dies unter der vorläufigen Annahme, dass es für jede Glassengruppe 

 II eines beliebigen Körpers einen entsprechenden Classenkörper 

 gebe, was tatsächlich der Fall ist, wie in der Folge bewiesen 

 werden wird). 



Wir fügen liier noch einen Hülfssatz hinzu, d^n w^ir später 

 nicht wohl entbehren können. 



1) H. Weber, Zahlengruppen, Math. Ann. 49, S. 89. 



2) E. Landau.Ueber die Verteilnno- der Primicleale in dm Idealklassen eines algebraischen 

 : Zahlkörpers, Math. Ann. 6?.. S. 196-197. 



