18 Art. 9.— T. Takagi : 



Von k ill die Priinideale des ersten Relativgrades in K zerfällt. 



Wenn der Relativgrad des relativ normalen Körpers K und 

 der Index der zugeordneten Classengruppe u von k einander 

 gleich sind, dann soll K der Classenkörper für die Classengruppe 

 H genainit werden. 



jMit Hülfe der Sätze 1 und 3 folgt aus der obigen Definition 

 der folgende Satz, welcher in der Folge von einer fundamentaler 

 Bedeutung ist. 



Satz 4. Der Belatlvgrad des relativ normalen Körpers ist 

 niemals klenier als der Index der zugeordneten Classengruppe des 

 Gruîididhjyers. 



Beweis. Nach Satz 1 ist, Avenn p die sämtlichen in der 

 Classengruppe n enthaltenen Primideale von k durchläuft, 



wo h der Index der Classengruppe h ist, und/(s) eine Function 

 der reellen Veränderlichen s, welche für s=l unter einer endlichen 

 positiven Schranke bleibt. Die sämtlichen zu m primen 

 Primideale von k, welche in K in die von einander verschiedenen 

 Primideale vom ersten Relativgrade zerfallen, die wir durchweg 

 mit Pi bezeichnen, sind in h enthalten; wir bezeichnen die übrigen 

 in ir enthaltenen Primideale durchweg mit p'. Dann ist 

 V 1 V] 1 v[ 1 



~ N(p)^ =" ^ N(pO- + ~N(p')^' 



und nach Satz 3 

 . Vi 1 



w 



log — + F(.s), (.s>l) 



Ni^Pi)* n s—1 



wo n der Relativgrad von K/k ist und F(s) eine Function von s, 

 die für s=] endlich bleibt. 

 Demnacli liat man 



für .s>l. Da/(s)— 7^(.s) nicht positiv unendlich wird, wenn sich .s' 

 abnehmend der Grenze 1 nähert, so folgt hieraus 



