Ueber tine Theorie des relativ Abel'schen Zahlkürpers. ]^7 



Relativgrade zerfallen. Ist dagegen etwa Çi =1= 1, dann Ijestimme 

 man ^—1 ganze rationale Zahlen 7u Ut so, dass 



^1 s.i — 1, Si Çt — -•-> 



nnd setze dementsprechend 



■II ■> Q lit O 



Dann lässt sich die gestellte Forderung umformen in: 



Sie werden durch diejenige Primideale p von k erfüllt, Avelche in 

 dem relativ Abel' sehen Körper K'=k (-v//\ ^ßt) vom Relativ- 

 grade V~\ nicht aber in K, in die Primideale vom ersten Re- 

 lativgrade zerfallen. Die über diese Primideale erstreckte Summe 

 wird daher nach Satz 3, für s=l unendlich wie 



- N(p} 



V/'-i V- I ^ s-l 

 womit unsere Behauptung bestätigt wird. 



§• 4. 

 Der Classenkörper. 



Es sei K ein relativ normaler Oberkörper von k vom 

 Relativgrade ?^; die Idealclassen in k seien nach dem Modul m 

 definirt. Die Gesamtheit derjenigen Classen von .k, welche 

 Relativnormen der zu m primen Ideale des 01)erkörpers K 

 enthalten, bildet dann eine Classengruppe, die wir mit ii 

 bezeichnen, und es sei h der Index von ii in Bezug auf die 

 vollständige Classengruppe von k. Der Körper K und die Classen- 

 gruppe H bezeichnen wir als einander zugeordnet. 



Die zu m primen Primideale von k, welche in K in die 

 Primideale des ersten Relativgrades zerfallen, sind demnach 

 sämtlich in den Classen von h enthalten, womit nicht gesagt wird, 

 dass umgekehrt jedes in einer Classe von h enthaltene Primideal 



