16 Art. 9.— T. Takagi : 



entsprechen, mit p.,, dann folgt ans Satz 3, angewandt auf K und 

 K', dass 



Vi ] 1 1 



N(ftr / ^ s-i ' 

 n\ i V2 1 . 1 1 



( ^ h 1 1 — log- 



folglich auch 



^{ViT N(p,)^ / V-' ^ s-1 ' 



^ 1 I-l . 1 



endlich bleiben, wenn sich der reelle A^eränderliche s abnehmend 

 der Grenze 1 nähert. Die Primideale \h sowie \h sind daher in 

 unbegrenzter Anzahl vorhanden. 



Enthält k die primitive f° Einheitswurzel, dann lässt sich dieses 

 Ergebnis wie folgt ausdrücken: 



Es seien «i, «o, «^ ganze Zahlen des Körpers k, welche die 



primitive V Einheitswurzel enthält, wo / eine natürliche Primzahl 

 ist, von der Art, dass keine der /'— 1 Producte 



mi 



die man erhält, wenn man jeden der Exponenten die Werte 0, 1, 



2, /— 1 durchlaufen lässt, mit Ausschluss eines Wertsystems 



0711=7712=... =7711=0, dieZ*" Potenz einer Zahl in k wird, ^^ind dann 



Çi, 1^2, ^i beliebig vorgeschriebene/''' Einheitswurzeln, dann 



gibt es in k stets unendlich viele Primideale p vom ersten Grade, 

 für welche 



ilH'irH (-?-)=^" 



wo (~„ ) den /'"' Potenzcharacter und e eine gewisse von p abhän- 

 gige nicht durcli / teilbare ganze rationale Zahl ist. '^ 



In der Tat, wenn zunächst ç„ çg ^/ sämtlich gleich 1 sind, 



werden durch die gestellte Forderung diejenige Primidealo von k 

 characterisirt, die im relativ Abel' sehen Oberkörper K=k (^^, -i/a., 

 v^«t) vom lielativgrade l' in die Primideale vom ersten 



1) Vgl. Hubert, Bericht, Satz 152. 



