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Ueber eine Theorie dos relativ Aliel'schen Zahlkörpers. 15 



S-rA 1 V 1 1 1 v__L_ + 



+ 1^-- i + 1 V JL + ] 



' 1 i. 1 \ 



N(i)--'^- +- N(iy^^ + j 



Î 1 il 



= " ^' =^ <2^^2' 



N(i/[N(J>>-1] ^ "- NO)- ' 



wenn 2' eine über alle von dem Einheitsideal verschiedenen ganzen 

 Ideale von k zu erstreckende Summe l)edeutet. S ist also eine 

 für -s> j— absolut convergente Dirichlet'sche Reihe, und gelit für 



s=l in einen endlichen Grenzwert über. 

 Da bekanntlich 



Lim<lo£; // — log > 



endlich ist, so ist unser Satz bewiesen. 



Von diesem Satz machen wir eine Anwendung auf einen 

 Specialfall, um eine Tatsache herzuleiten, die wir später einmal 

 benutzen werden. 



Sei K relativ Abel'sch über k vom Relativgrade /'. Avelcher 

 aus t von einander unabhängigen relativ cyclischen Korpern vom 

 Primzahlgrade l zusammengesetzt ist. 



Sehen wir von den in einer endlichen Anzahl vorhandenen, 

 in die Relativdiscriminante aufgehenden Primidealen ab. dann 

 zerfällt ein Primideal von k in K entweder in /' von einander 

 verschiedenen Primideale vom ersten Relativgrade oder in /'"' vom 

 / ten Relativgrade; dieses letztere zerfällt dann in einem Unterkörper 

 K' vom Relativgrade /'"' in die Primideale vom ersten 

 Relativgrade; es ist nämlich K' der Zerlegungskörper für jedes der 

 Z'~^ relativconjugirten Primideale von K (K muss relativ cyclisch 

 in Bezug auf K', also hier vom Relativgrade / sein). 



Bezeichnen wir die Primideale der ersten Art durchweg mit 

 Pi, die der zweiten Art, welche einem bestimmten Köii:)er K' 



