] 4 Art. 9.— T. Takagi : 



Ein Fundamenlalsatz uber die relativ normalen Körper. 



Satz 3. \\\:n)i K ein relativ normaler Körjier vom Relativgrade 

 n l/i Bezug auf dem' Körper k ist, und wenn p, alle Frimideale vom 

 Grundk'Jrper ]c durchläuft, ivelche in ]v /y/ die von einander 

 verschiedenen Primideale des ersten Tielatirr/rades zerfallen., dann ist 

 für s>-] 



^^'1 1 1 



2' = loo- + Fis), 



um F{s) eine Function des reellen Veränderlichen s ist, die endlich 



bleibt, icenn sich s abnehmend der Grenze 1 näherte 



Beweis. Das für s:>l absolut convergente, auf alle Primideale 



^4> von K mit Ausschluss von den endlichvielen, in die Relativdif- 



ferente von K/k aufgehenden, zu erstreckende, unendliche 



Product 



% 1 



11 



1-N^e-P)- 



wo Nk die Norm im Körper K bezeichnet, lässt sich wie folgt 

 umformen : 



wo sich das erste Product rechts auf alle Pi'imideale p, von k, das 



Product Jl auf alle Primideale P/ von k, welche in K in e von 

 einander verschiedene Primideale des/ten Pelativgrades zerfallen, 



Av<> /' = >1, endlich das Product ^ sicli auf alle von 1 ver.-chie- 



denen Teile]' /' von y?, erstreckt. Geht man in die Logarithmus 

 über, so erliäk man 



1) Für den al:)sulut normalen Körper, vgl. Hilbert, Bericht, S. 265 (Satz 84). Dieser Satz 

 bleibtauch gültig, -wenn nur die Priuiidealo pi vom ersten (absoluten) Grade in die Summe 

 aufgenommen werden, worauf es im wesentlichen ankommt ; vgl. die Fussnote ') aif S. 10. 



