lieber eine Theorie dos relativ AlicrHchen ZahlkcJrpers. ] 3. 



m', wo in' (las durch in teilliaro Ideal bedeutet, welches dadurcli 

 ans m entsteht, wenn demselben alle in c enthaltenen Primideale 

 als Factoren hinzugefügt werden, die nicht in m enthalten waren. 

 In diesem Sinne ist eine Classengruppe nach dem Älodul in 

 zugleich eine Classengruppe nacli jedem durci i m teilbaren Modul 

 m'; nur spielen dabei einige Factoren von in' die Rolle der zur 

 Ciasseneinteilung unwesentlichen Excludenten. 



Ist allgemein it eine Classengruppe sowohl nach dem Modul 

 lUi als nach iiio, und ist m der grösste gemeinsame Divisor von nii 

 und in2. dann ist h eine Classengruppe nach m. Denn sei «o eine 

 zu nil und nto prime Zahl, die der Congruenz: 



'^0=1, (in) (2) 



genügt, also 



«0 = 1 + /^, 



wo /^ durch \\\ teilbar, folglich in der Form darstellbar ist: 



/^ = "'^l + ''Î2. 



wenn mit '-^i und ^2 bez. durch nii und wu teilbare Zahlen be- 

 zeichnet werden. Setzt man daher 



dann bestehen die Congruenzen 



« = «0, (nil) ; a = l, (nu) ; 



folglich ist a prim zu nti und zu nu-. Nach der zweiten Congruenz 

 ist das Ideal («) gewiss in h enthalten, und weil n auch eine 

 Classengruppe nach dem Modul nti ist, so folgt aus der ersten 

 Congruenz, dass («0) in 11 enthalten sein muss. Da aber «0 eine 

 beliebige der Congruenz (2) genügende Zahl ist, so ist unsere 

 Behauptung nachgewiesen. 



Demnach gibt es unter allen Moduln nt, die dieselbe Classen- 

 gruppe H definiren, einen bestimmten von kleinster Norm. Der- 

 selbe nennen wir der Führer der Classengruppe 11. 



